Po przerobieniu sporej ilości równań różniczkowych natrafiłem na zadanko, które nie wiem jak policzyć.
\(\displaystyle{ \frac{ \mbox{d}x }{ \mbox{d}t} = (4x + 4t + 1) ^{12} - 1}\)
Czy ktoś wie z której strony to ugryźć?
Znajdź całkę ogólną równania
-
Maciej94
- Użytkownik
- Posty: 73
- Rejestracja: 11 gru 2010, o 12:46
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Poznań
- Podziękował: 7 razy
- Pomógł: 4 razy
Znajdź całkę ogólną równania
Nie podstawiałem wcześniej pod dwie zmienne i nie wiem czy dobrze to robię:
\(\displaystyle{ u = 4x + 4t + 1}\)
\(\displaystyle{ x = \frac{1}{4}(u - 4t -1)}\)
\(\displaystyle{ \frac{ \mbox{d}x }{ \mbox{d}t} = \frac{1}{4}\frac{ \mbox{d}u }{ \mbox{d}t}}\)
\(\displaystyle{ \frac{ \mbox{d}u }{ \mbox{d}t} = 4(u ^{12}-1)}\)
\(\displaystyle{ \frac{ \mbox{d}u}{u^{12}-1}=4 \mbox{d}t}\)
\(\displaystyle{ \int \frac{1}{u ^{12}-1} \mbox{d}u}\) wydaje się dość problematyczna, więc chyba popełniłem gdzieś błąd.
\(\displaystyle{ u = 4x + 4t + 1}\)
\(\displaystyle{ x = \frac{1}{4}(u - 4t -1)}\)
\(\displaystyle{ \frac{ \mbox{d}x }{ \mbox{d}t} = \frac{1}{4}\frac{ \mbox{d}u }{ \mbox{d}t}}\)
\(\displaystyle{ \frac{ \mbox{d}u }{ \mbox{d}t} = 4(u ^{12}-1)}\)
\(\displaystyle{ \frac{ \mbox{d}u}{u^{12}-1}=4 \mbox{d}t}\)
\(\displaystyle{ \int \frac{1}{u ^{12}-1} \mbox{d}u}\) wydaje się dość problematyczna, więc chyba popełniłem gdzieś błąd.
-
Mariusz M
- Użytkownik
- Posty: 6953
- Rejestracja: 25 wrz 2007, o 01:03
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: 53°02'N 18°35'E
- Podziękował: 2 razy
- Pomógł: 1254 razy
Znajdź całkę ogólną równania
\(\displaystyle{ \frac{ \mbox{d}x }{ \mbox{d}t} = (4x + 4t + 1) ^{12} - 1\\
u=4x + 4t + 1\\
\frac{ \mbox{d}u}{ \mbox{d}t } =4 \frac{ \mbox{d}x }{ \mbox{d}t} +4\\
4 \frac{ \mbox{d}x }{ \mbox{d}t}=\frac{ \mbox{d}u}{ \mbox{d}t }-4\\
\frac{ \mbox{d}x }{ \mbox{d}t}=\frac{1}{4}\left( \frac{ \mbox{d}u}{ \mbox{d}t }-4\right) \\
\frac{ \mbox{d}x }{ \mbox{d}t}=\frac{1}{4}\frac{ \mbox{d}u}{ \mbox{d}t }-1\\
\frac{1}{4}\frac{ \mbox{d}u}{ \mbox{d}t }-1=u^{12}-1\\
\frac{1}{4}\frac{ \mbox{d}u}{ \mbox{d}t }=u^{12}\\
\frac{ \mbox{d}u}{ \mbox{d}t }=4u^{12}\\
\frac{ \mbox{d}u}{u^{12}}=4 \mbox{d}t\\
- \frac{1}{11} \cdot \frac{1}{u^{11}} =4t-C\\
- \frac{1}{11} \cdot \frac{1}{u^{11}}-4t=-C\\
\frac{1}{11} \cdot \frac{1}{\left( 4x+4t+1\right)^{11} }+4t=C}\)
u=4x + 4t + 1\\
\frac{ \mbox{d}u}{ \mbox{d}t } =4 \frac{ \mbox{d}x }{ \mbox{d}t} +4\\
4 \frac{ \mbox{d}x }{ \mbox{d}t}=\frac{ \mbox{d}u}{ \mbox{d}t }-4\\
\frac{ \mbox{d}x }{ \mbox{d}t}=\frac{1}{4}\left( \frac{ \mbox{d}u}{ \mbox{d}t }-4\right) \\
\frac{ \mbox{d}x }{ \mbox{d}t}=\frac{1}{4}\frac{ \mbox{d}u}{ \mbox{d}t }-1\\
\frac{1}{4}\frac{ \mbox{d}u}{ \mbox{d}t }-1=u^{12}-1\\
\frac{1}{4}\frac{ \mbox{d}u}{ \mbox{d}t }=u^{12}\\
\frac{ \mbox{d}u}{ \mbox{d}t }=4u^{12}\\
\frac{ \mbox{d}u}{u^{12}}=4 \mbox{d}t\\
- \frac{1}{11} \cdot \frac{1}{u^{11}} =4t-C\\
- \frac{1}{11} \cdot \frac{1}{u^{11}}-4t=-C\\
\frac{1}{11} \cdot \frac{1}{\left( 4x+4t+1\right)^{11} }+4t=C}\)