Ekstrema lokalne - układ równań, pierwsze pochodne

[Kaef]

Mam funkcję postaci:

\(\displaystyle{ f(x,y)=xy+\frac{1}{x+y}}\)

Liczę pierwsze pochodne i dostaję układ równań postaci:

\(\displaystyle{ \begin{cases} x^2y+2xy^2+y^3=1 \\ x^3+2x^2y+xy^2=1 \end{cases}}\)
Moje pytanie brzmi: jak ten układ rozwiązać?

[mortan517]

Z pierwszego wyciągnij \(\displaystyle{ y}\), z drugiego \(\displaystyle{ x}\).

[Kaef]

\(\displaystyle{ \begin{cases} y(x^2+2xy+y^2)=1 \\ x(x^2+2xy+y^2)=1 \end{cases}}\)

A dalej? Bo niewiele mi to rozjaśniło, tą postać miałam nawet zanim to przemnożyłam do powyższej, bo generalnie wyjściowa postać to:


\(\displaystyle{ \begin{cases} y-\frac{1}{(x+y)^2}=0\\ x-\frac{1}{(x+y)^2}=0\end{cases}}\)

[mortan517]

No to sobie utrudniłaś tym rozpisaniem. Masz z automatu \(\displaystyle{ x=y}\).

[Kaef]

No ok, ale czy żeby wyznaczyć ekstremum nie potrzebuję konkretnej wartości, aby otrzymać punkt stacjonarny?
Inaczej - co takie rozwiązanie sygnalizuje w przypadku próby wyznaczenia ekstremum?

[mortan517]

Oczywiście, że tak, ale mamy warunek \(\displaystyle{ x=y}\) (wiesz skąd on wynika?) i dzięki niemu możemy wszystkie \(\displaystyle{ y}\) w którymś równaniu zamienić na \(\displaystyle{ x}\) i rozwiązać równanie z jedną zmienną.

[Kaef]

Jaka wtopa, dziękuję! Coś mnie zaćmiło, nie było pytania o układ równań I tak, wiem, skąd wynika warunek