Szereg potęgowy

[awdesq]

Czy to poprawne rozwiązanie ?

\(\displaystyle{ \sum_{ \infty }^{n=1} \frac{x ^{n} }{n ^{2} }}\)

\(\displaystyle{ \lim_{ n \to \infty }}\) \(\displaystyle{ \left[ \frac{ \frac{1}{(n+1) ^{2} } }{\frac{1}{n ^{2} } } \right]}\)\(\displaystyle{ =}\)\(\displaystyle{ \lim_{ n \to \infty }}\)\(\displaystyle{ = \frac{1}{(n+1) ^{2} } } \cdot{\frac{n ^{2}}{ 1} }}\)=\(\displaystyle{ \lim_{ n \to \infty } \frac{n ^{2} }{n ^{2} (1+ \frac{1}{n }) ^{2} }=0}\)

Odp. Szereg potęgowy jest zbieżny tylko w pkt. \(\displaystyle{ x=0}\)

[a4karo]

Źle policzyłes granice

[awdesq]

Poprawiłem a jeśli jest źle to proszę wskazać błąd w którym miejscu bo wydaje mi sie że jest ok

[AloneAngel]

\(\displaystyle{ \lim_{ n \to \infty } \frac{n ^{2} }{n ^{2} (1+ \frac{1}{n }) ^{2} } = \lim_{ n \to \infty } \frac{1}{ (1+ \frac{1}{n }) ^{2} }}\)

Do czego dąży \(\displaystyle{ \frac{1}{n}}\)?

[awdesq]

Już wiem wynik powinien być 1 a \(\displaystyle{ \frac{1}{n}}\) dąży oczywiście do 0 ponieważ stała przez nieskończoność daje nam 0 .

-- 3 września 2015, 12:51 --

Czyli szereg jest zbieżny dla \(\displaystyle{ x \in (-1,1)}\)
dla \(\displaystyle{ x=-1}\)

\(\displaystyle{ \lim_{ n \to \infty } \frac{-1}{n ^{2} }}\)=\(\displaystyle{ \lim_{ n \to \infty } \frac{1}{ n ^{2} } \cdot -1}\)

\(\displaystyle{ \sum_}\)\(\displaystyle{ \frac{1}{n ^{2} }}\) - szereg harmoniczny zbieżny

Czy tak ?

[a4karo]

Nie. Dla \(\displaystyle{ x=-1}\) masz szereg \(\displaystyle{ \sum_{n=1}^\infty\frac{(-1)^n}{n^2}}\)