poprawność zapisu

[Jever]

Witam.
Mam zadanie o treści:
Ciąg \(\displaystyle{ a_{n}}\) zadany jest w sposób następujący:
\(\displaystyle{ a _{1} = 1, a _{n+1} = \frac{a _{n} }{2} + \sqrt{ \frac{ a _{n}^{2} }{4} + \frac{1}{a _{n} } }}\).
Udowodnij, że ciąg nie jest ograniczony.

Próbowałem rozwiązywać to w ten sposób:
\(\displaystyle{ \lim_{n \to \infty } a _{n+1} = \frac{\lim_{n \to \infty } a _{n} }{2} + \sqrt{ \frac{ \lim_{n \to \infty } a _{n}^{2} }{4} + \frac{1}{\lim_{n \to \infty } a _{n} } }}\)
Jako że w nieskończoności \(\displaystyle{ a _{n} = a _{n+1}}\), to:
\(\displaystyle{ \frac{\lim_{n \to \infty } a _{n}^{2}}{4} = \frac{ \lim_{n \to \infty } a _{n}^{2} }{4} + \frac{1}{\lim_{n \to \infty } a _{n} }}\)
\(\displaystyle{ \frac{1}{\lim_{n \to \infty } a _{n}} = 0}\)
\(\displaystyle{ \lim_{n \to \infty } a _{n} = \pm \infty}\)

I tu pojawia się moje pytanie: czy mogę w takich równaniach wykorzystywać symbol \(\displaystyle{ lim}\) w taki sposób jak powyżej?

[jutrvy]

Niedobrze. Skąd wiesz, że Twój ciąg ma granicę? (nie musi być przecież zbieżny)

Ostatnie przejście jest kłamstwem. Weź na przykład \(\displaystyle{ a_n = (-1)^n\cdot n}\).

Wtedy \(\displaystyle{ (a_n)^{-1}}\) dąży do zera, ale \(\displaystyle{ a_n}\) nie ma granicy, ale owszem, jest nieograniczony.

-- 3 wrz 2015, o 11:55 --

Jeżeli \(\displaystyle{ \frac{1}{a_n}}\) dąży do zera, to \(\displaystyle{ |a_n|}\) dąży do \(\displaystyle{ \infty}\)

[Jever]

Czyli gdyby było wiadome, że ciąg ma granicę, to takie zastosowanie limesa jest poprawne?

[a4karo]

Nie, bo jeżeli ta granica byłąby równa \(\displaystyle{ \infty}\) to wyrażenie \(\displaystyle{ \infty=\frac{\infty}{2}+\dots}\) ma mało sensu.
Trzeba z tym postapić trochę delikatniej.

Załóżmy, że istnieje granica skończona \(\displaystyle{ g}\). Wtedy...

[Dasio11]

Nie, bo jeżeli ta granica byłąby równa \(\displaystyle{ \infty}\) to wyrażenie \(\displaystyle{ \infty=\frac{\infty}{2}+\dots}\) ma mało sensu.

To wtedy ciąg nie ma granicy.

[Jever]

Ok, dzięki za pomoc.