Ograniczenia dla zmiennych - obliczanie objętości

[Kaef]

Witam, jakie ograniczenia należy przyjąć, by poprawnie obliczyć objętość bryły ograniczonej następującymi powierzchniami:

\(\displaystyle{ z= \frac{x^{2}}{9}+\frac{y^{2}}{16}}\), \(\displaystyle{ z=2- \sqrt{\frac{x^{2}}{9}+\frac{y^{2}}{16}}}\)?


Nie jestem w stanie sobie tego wyobrazić. Potrzebuję tylko ograniczeń do tego jednego przykładu

[a4karo]

Pierwsze to paraboloida eliptyczna skierowana w górę, a drugie to elipsoida. obie te powierzchnie przecinają się na płaszczyźnie \(\displaystyle{ z=z_0}\) a przecięcie jest elipsą \(\displaystyle{ \{(x,y,z_0): z_0= \frac{x^{2}}{9}+\frac{y^{2}}{16}\},}\) Wyznacz \(\displaystyle{ z_0}\).

jej rzut na płaszczyznę \(\displaystyle{ z=0}\) da obszar całkowania.

[Kaef]

Jeżeli \(\displaystyle{ z_0}\) jest elipsą, to \(\displaystyle{ y \in [-4,4]}\), a \(\displaystyle{ x \in [-3,3]}\)?

[a4karo]

Nie, bo nie wyliczyłaś jeszcze "promienia tej elipsy" (innymi słowy, nie wiesz na jakim poziomie \(\displaystyle{ z_0}\) się przecinają. Wylicz \(\displaystyle{ z_0}\) i potem pomyśl.

A obszar, który opisałaś jest prostokątem, a nie elipsą.

[Kaef]

Inaczej - żeby wyznaczyć \(\displaystyle{ z_0}\) mam porównać moje oba \(\displaystyle{ z}\)?

EDIT: Inaczej, jeśli to ma być elipsa, to \(\displaystyle{ x \in [-3,3]}\), a \(\displaystyle{ y \in [-\frac{4}{3} \sqrt{9-x^2},\frac{4}{3} \sqrt{9-x^2}]}\)?-- 2 wrz 2015, o 14:15 --Czy ograniczenia na \(\displaystyle{ x,y}\) są poprawne?

[a4karo]

Nie. Tak by było, gdyby elipsa w przekroju miałą równanie \(\displaystyle{ 1= \frac{x^{2}}{9}+\frac{y^{2}}{16}}\)
a przecież jej równanie to \(\displaystyle{ z_0= \frac{x^{2}}{9}+\frac{y^{2}}{16}}\)

Tak, musisz porównać oba zety

[Kaef]

Ale właśnie takie \(\displaystyle{ y}\) wychodzi po porównaniu obu \(\displaystyle{ z}\):


... 29%2F16%29

Co więc jest nie tak?

[a4karo]

Jak wychodzy 1, to OK.

[Kaef]

A więc możesz powiedzieć mi, co dalej z tym zrobić?

[a4karo]

Czy widzisz, która z powierzchni jest "u góry" a która "na dole"? Powinieneś scałkować "góra"-"dół" po obszarze, który jest rzutem, czyli po elipsie. Drobna modyfikacja zmiennych biegunowych załatwi sprawę

[Kaef]

Pierwsza jest na dole, druga u góry? Mógłbyś zapisać tą całkę, która da mi szukaną objętość?

[a4karo]

\(\displaystyle{ \iint_D (z_1-z_2)dxdy}\), gdzie \(\displaystyle{ D}\) to elipsa, \(\displaystyle{ z_1}\) to góra, \(\displaystyle{ z_2}\) dół

[Kaef]

Zaraz, czyli dla pewności \(\displaystyle{ \int_{-3}^{3} \int_{-\frac{4}{3} \sqrt{9-x^2}}^{\frac{4}{3} \sqrt{9-x^2}} 2- \sqrt{\frac{x^{2}}{9}+\frac{y^{2}}{16}}-\frac{x^{2}}{9}-\frac{y^{2}}{16} dydx}\) ?


Jeśli tak, to jakie dokładnie współrzędne wprowadzić, by ułatwić liczenie?

\(\displaystyle{ x=3rcos\varphi}\)
\(\displaystyle{ y=4rsin\varphi}\)
\(\displaystyle{ J=12r}\)
\(\displaystyle{ r \in [0,1]}\)
\(\displaystyle{ \varphi \in [0,2\pi]}\)

?

[a4karo]

Tak