różniczkowalność funkcji zespolonej w punkcie
-
- Użytkownik
- Posty: 339
- Rejestracja: 25 lip 2014, o 16:13
- Płeć: Kobieta
- Lokalizacja: Polska
- Podziękował: 243 razy
różniczkowalność funkcji zespolonej w punkcie
Sprawdzić, czy dla \(\displaystyle{ f(z)=\sqrt{|\Re z||\Im z|}}\) istnieje \(\displaystyle{ f'(0)}\), \(\displaystyle{ z=x+iy}\).
Czyli mogę pokazać, że albo warunki C-R nie są spełnione w tym punkcie, czyli nie istnieje f'(0), albo, jeśli są spełnione, to że u i v są różniczkowalne w \(\displaystyle{ (x_0,y_0)}\), czyli istnieje \(\displaystyle{ f'(0)}\), tak?
Sprawdziłam, że warunki C-R są spełnione.
Teraz różniczkowalność u i v:
\(\displaystyle{ v=0}\), więc różniczkowalne.
\(\displaystyle{ u=\sqrt{|xy|}}\).
\(\displaystyle{ \lim_{(h_1,h_2) \to 0} \frac{u(h_1,h_2)-u(0,0)-[u_x(0,0),u_y(0,0)][h_1,h_2]}{||[h_1,h_2]||}=\lim_{(h_1,h_2) \to 0} \frac{ \sqrt{|h_1h_2|}}{\sqrt{(h_1)^2+(h_2)^2}}}\)
Nie umiem dalej
Czyli mogę pokazać, że albo warunki C-R nie są spełnione w tym punkcie, czyli nie istnieje f'(0), albo, jeśli są spełnione, to że u i v są różniczkowalne w \(\displaystyle{ (x_0,y_0)}\), czyli istnieje \(\displaystyle{ f'(0)}\), tak?
Sprawdziłam, że warunki C-R są spełnione.
Teraz różniczkowalność u i v:
\(\displaystyle{ v=0}\), więc różniczkowalne.
\(\displaystyle{ u=\sqrt{|xy|}}\).
\(\displaystyle{ \lim_{(h_1,h_2) \to 0} \frac{u(h_1,h_2)-u(0,0)-[u_x(0,0),u_y(0,0)][h_1,h_2]}{||[h_1,h_2]||}=\lim_{(h_1,h_2) \to 0} \frac{ \sqrt{|h_1h_2|}}{\sqrt{(h_1)^2+(h_2)^2}}}\)
Nie umiem dalej
-
- Użytkownik
- Posty: 7922
- Rejestracja: 18 mar 2009, o 16:24
- Płeć: Mężczyzna
- Podziękował: 30 razy
- Pomógł: 1672 razy
różniczkowalność funkcji zespolonej w punkcie
Ta granica jest równa 0, bo przechodząc np. na współrzędne biegunowe otrzymujemy
\(\displaystyle{ \lim_{\alpha \to 0}\sqrt{\frac{1}{2}\sin (2\alpha)} =0.}\)
\(\displaystyle{ \lim_{\alpha \to 0}\sqrt{\frac{1}{2}\sin (2\alpha)} =0.}\)
-
- Użytkownik
- Posty: 339
- Rejestracja: 25 lip 2014, o 16:13
- Płeć: Kobieta
- Lokalizacja: Polska
- Podziękował: 243 razy
różniczkowalność funkcji zespolonej w punkcie
Czyli wychodzi, że u jest różniczkowalne i istnieje \(\displaystyle{ f'(0)}\), tak?
-
- Użytkownik
- Posty: 7922
- Rejestracja: 18 mar 2009, o 16:24
- Płeć: Mężczyzna
- Podziękował: 30 razy
- Pomógł: 1672 razy
różniczkowalność funkcji zespolonej w punkcie
Sprawdziłaś, że spełnione są warunki Cauchy-Riemanna i z definicji istnieje pochodna w punkcie 0, a więc u jest rózniczkowalne i istnieje pochodna w tym punkcie.
- Dasio11
- Moderator
- Posty: 10235
- Rejestracja: 21 kwie 2009, o 19:04
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Wrocław
- Podziękował: 40 razy
- Pomógł: 2365 razy
różniczkowalność funkcji zespolonej w punkcie
Nie powinno być \(\displaystyle{ \lim_{\alpha \to 0},}\) bo \(\displaystyle{ \alpha}\) jest parametrem. A skoro wartość wyrażenia \(\displaystyle{ \sqrt{\frac{1}{2} \sin 2 \alpha}}\) zależy od tego parametru, to granica nie istnieje.janusz47 pisze:\(\displaystyle{ \lim_{\alpha \to 0}\sqrt{\frac{1}{2}\sin (2\alpha)} =0.}\)
-
- Użytkownik
- Posty: 339
- Rejestracja: 25 lip 2014, o 16:13
- Płeć: Kobieta
- Lokalizacja: Polska
- Podziękował: 243 razy
różniczkowalność funkcji zespolonej w punkcie
Możesz bardziej wyjaśnić o co chodzi z tym parametrem i dlaczego ta granica nie istnieje?
Zawsze chyba wartość zależy od parametru, to znaczy że nie można w ogóle parametryzować, żeby liczyć granice, czy coś źle rozumiem?Dasio11 pisze:A skoro wartość wyrażenia \(\displaystyle{ \sqrt{\frac{1}{2} \sin 2 \alpha}}\) zależy od tego parametru, to granica nie istnieje.
-
- Użytkownik
- Posty: 7922
- Rejestracja: 18 mar 2009, o 16:24
- Płeć: Mężczyzna
- Podziękował: 30 razy
- Pomógł: 1672 razy
różniczkowalność funkcji zespolonej w punkcie
Sprawdzając istnienie granicy funkcji dwóch zmiennych za pomocą współrzędnych biegunowych, żąda się, aby promień \(\displaystyle{ r \rightarrow 0,}\) natomiast kąt \(\displaystyle{ \alpha}\) pozostawał dowolny.
Ponieważ granica zależy od kąta \(\displaystyle{ 2\alpha,}\) dlatego jak słusznie zauważył kolega Dasio11 -nie istnieje.
Sprawdzenie istnienia granicy drugą metodą.
Niech ciąg \(\displaystyle{ (h_{1n}, h_{2n}) \rightarrow (0, 0)}\) i \(\displaystyle{ h_{2n} =ah_{1n}, a\in R.}\)
Podstawiając do granicy
\(\displaystyle{ \lim_{(h_{1n},h_{2n}) \rightarrow (0,0)} \frac{\sqrt{h_{1n}h_{2n}}}{\sqrt{h^{2}_{1n}+h^{2}_{2n}}} = \lim_{h_{1n} \rightarrow 0}\frac{\sqrt{ah^{2}_{1n}}}{\sqrt{h^{2}_{1n} + a^{2}h^{2}_{1n}}} = \frac{\sqrt{a}}{\sqrt{1+a^{2}}}.}\)
Granica ta zależy od liczby \(\displaystyle{ a}\), a więc istnieje nieskończenie wiele takich granic, czyli nie istnieje dokładnie jedna
Przepraszam za wprowadzenie w błąd.
Ponieważ granica zależy od kąta \(\displaystyle{ 2\alpha,}\) dlatego jak słusznie zauważył kolega Dasio11 -nie istnieje.
Sprawdzenie istnienia granicy drugą metodą.
Niech ciąg \(\displaystyle{ (h_{1n}, h_{2n}) \rightarrow (0, 0)}\) i \(\displaystyle{ h_{2n} =ah_{1n}, a\in R.}\)
Podstawiając do granicy
\(\displaystyle{ \lim_{(h_{1n},h_{2n}) \rightarrow (0,0)} \frac{\sqrt{h_{1n}h_{2n}}}{\sqrt{h^{2}_{1n}+h^{2}_{2n}}} = \lim_{h_{1n} \rightarrow 0}\frac{\sqrt{ah^{2}_{1n}}}{\sqrt{h^{2}_{1n} + a^{2}h^{2}_{1n}}} = \frac{\sqrt{a}}{\sqrt{1+a^{2}}}.}\)
Granica ta zależy od liczby \(\displaystyle{ a}\), a więc istnieje nieskończenie wiele takich granic, czyli nie istnieje dokładnie jedna
Przepraszam za wprowadzenie w błąd.
-
- Użytkownik
- Posty: 339
- Rejestracja: 25 lip 2014, o 16:13
- Płeć: Kobieta
- Lokalizacja: Polska
- Podziękował: 243 razy
różniczkowalność funkcji zespolonej w punkcie
Ok, czyli u nie jest różniczkowalna w (0,0). Bo właśnie nie wiem, czy z tego wynika, że nie istnieje pochodna f'(0)?
Mam takie twierdzenie, że jak C-R są spełnione i u, v są różniczkowalne w tym punkcie, to istnieje pochodna.
A drugie, że jak istnieje pochodna, to C-R spełnione i istnieją pochodne cząstkowe u i v.
Ale nie mam nic o tym, co jak u albo v nie jest różniczkowalna w tym punkcie.
To co mogę tu jeszcze zrobić?
Mam takie twierdzenie, że jak C-R są spełnione i u, v są różniczkowalne w tym punkcie, to istnieje pochodna.
A drugie, że jak istnieje pochodna, to C-R spełnione i istnieją pochodne cząstkowe u i v.
Ale nie mam nic o tym, co jak u albo v nie jest różniczkowalna w tym punkcie.
To co mogę tu jeszcze zrobić?
-
- Użytkownik
- Posty: 7922
- Rejestracja: 18 mar 2009, o 16:24
- Płeć: Mężczyzna
- Podziękował: 30 razy
- Pomógł: 1672 razy
różniczkowalność funkcji zespolonej w punkcie
Funkcja \(\displaystyle{ f}\) nie jest różniczkowalna w punkcie \(\displaystyle{ ( 0, 0),}\) bo nie istnieje pochodna funkcji w tym punkcie. Warunki C-R są warunkami koniecznymi istnienia pochodnej ale niedostecznymi.