Oblicz strumień pola F przez zamkniętą powierzchnię

[Kerkyros]

Witam, natknąłem się w arkuszu zadań na nietypowe zadanie o treści jak w tytule tematu.
Wiem, że w zadaniach o tej treści należy zastosować twierdzenie Gaussa-Ostrogradskiego.
Niemniej tu - ewidentnie wyrazy \(\displaystyle{ P_{x}, Q_{y}, R_{z}}\) są równe 0 i nie ma co podstawić do całki.

Treść: Oblicz strumień pola F przez zorientowany na zewnątrz brzeg obszaru V.
\(\displaystyle{ \vec{F}(x,y,z)=(arctgy, \frac{z^{2}}{1+x^{2}}, 2xy)}\)
\(\displaystyle{ V: x^{2}+y^{4}+z^{6} \le 1}\)
\(\displaystyle{ \int \int\limits_{S} \vec{F} \vec{ds} =?}\)

Czy istnieją inne sposoby rozwiązania takiego zagadnienia? Zastanawia mnie fragment: "zorientowany na zewnątrz".

Z góry dziękuję za jakiekolwiek sugestie.

[yorgin]

Orientacja wpływa na znak całki po zastosowaniu Twierdzenia G-O.

Samo zadanie jest rozwiązane poprawnie. Raczej nie jest to nic dziwnego, gdyż liczenie tego wprost z definicji może nie być trywialne z uwagi na postać zbioru \(\displaystyle{ V}\).

[Kerkyros]

Dziękuję. Po prostu byłem zdziwiony, że po wyliczeniu tych trzech wartości zadanie jest już właściwie skończone.

Pytanie: Jak sobie wyobrazić \(\displaystyle{ V}\) podane w treści zadania?
Jakie należałoby narzucić zakresy (i jakich zmiennych) aby móc przejść do całki iterowanej z całki potrójnej jaką byśmy otrzymali gdyby wyrazy \(\displaystyle{ P_{x},Q_{y},R_{z}}\) się nie zerowały?

[yorgin]

Właśnie cały problem jest w tym, jak \(\displaystyle{ V}\) wygląda. Ja nie mam najmniejszego pojęcia.

Jeżeli chcesz zobaczyć, czym to jest, wrzuć to do jakiegoś programu rysującego powierzchnie (wolfram, maple etc).

Zakresy również trudno w sensownej formie wyznaczyć. Można pozostać przy pierwiastkach, ale późniejsze całkowanie arcusa tangensa z pierwiastków jest mało wciągające. Można zastosować współrzędne biegunowe, ale wtedy ustalenie zakresu promienia wcale takie oczywiste być nie musi.