Całka nieoznaczona

[korn140]

Hej mam problem z jedną całką.

\(\displaystyle{ \int \frac{1}{x^2+17}dx}\)

Nie mam pomysłu jak to rozbić aby skorzystać ze wzorów
Bardzo proszę o wskazówki.

[mol_ksiazkowy]

mam problem z jedną całką

wsk \(\displaystyle{ x =\sqrt{17}t}\)

[korn140]

Dzięki za odpowiedź ale prosiłbym o inne rozwiązanie

Chodzi o to, że jeszcze nie przerabiałem podstawiania a wiem, że można to policzyć bez tego.

Wynik powinien wyjść: \(\displaystyle{ \frac{1}{ \sqrt{17} } arctg \frac{x}{ \sqrt{17} } +c}\)

Jak do niego dojść?

[mortan517]

Bez podstawiania? To tylko z gotowego wzoru możesz.

\(\displaystyle{ \int \frac{1}{x^2+\left( \sqrt{17}\right)^2}dx}\)

[korn140]

Bardzo dziękuję za pomoc

Teraz mam kłopot z trzema całkami nieoznaczonymi do policzenia przez podstawienie.

1.) \(\displaystyle{ \int \frac{x^3dx}{1+x^2}}\) W tej jak biorę za \(\displaystyle{ t=x^3}\) to \(\displaystyle{ \frac{dt}{3} = x^2dx}\). Tam iloraz a tu iloczyn..

2.) \(\displaystyle{ \int cos^{3}xdx}\) Próbowałem za \(\displaystyle{ t}\) brać \(\displaystyle{ cos^3x}\) oraz \(\displaystyle{ cosx}\) ale nic mi z tego nie wychodzi

3.) \(\displaystyle{ \int \frac{ \sqrt{x+1} }{x}dx}\) Ten przykład nawet nie wiem jak ugryźć.

Proszę o pomoc.

[Mariusz M]

1 Weź podstawienie za cały mianownik
\(\displaystyle{ t=1+x^2\\ \mbox{d}t=2x \mbox{d}x \\x^3=2x \cdot \frac{1}{2}\left(\left(1+x^2\right)-1\right)}\)
2. Weź podstawienie \(\displaystyle{ t=\sin{x}}\)
\(\displaystyle{ t=\sin{x}\\ \mbox{d}t=\cos{x} \mbox{d}x \\ cos^{3}{x}=\cos{x}\cos^{2}{x}\\cos^{3}{x}=\cos{x}\left(1-\sin^{2}{x}\right)}\)
3. Weź podstawienie za pierwiastek
\(\displaystyle{ t=\sqrt{x+1}\\ \mbox{d}t=\frac{1}{2 \sqrt{x+1} } \mbox{d}x \\ \mbox{d}x =2t \mbox{d}t\\
x=x+1-1\\}\)

[korn140]

A jak policzyć taką całkę??

\(\displaystyle{ \int \frac{dx}{x^3-x^2}}\)

Przez podstawienie czy przez części? Jak ją rozpracować?

[Premislav]

Ja bym rozłożył funkcję podcałkową na ułamki proste:
\(\displaystyle{ \frac{1}{x^{3}-x^{2}}= \frac{1}{x^{2}(x-1)}= \frac{1-x+x}{x^{2}(x-1)}=- \frac{1}{x^{2}}+ \frac{1}{x(x-1)}=...}\) (dalej znów podobny myk z tym drugim ułamkiem).
i dalej rozbił tę całkę na sumę dwóch prostych całek.

[Mariusz M]

A jak policzyć taką całkę??

\(\displaystyle{ \int \frac{dx}{x^3-x^2}}\)

Przez podstawienie czy przez części? Jak ją rozpracować?

Jeśli mamy do dyspozycji tylko podstawienie i części to proponuję podstawić

\(\displaystyle{ \int \frac{dx}{x^3-x^2}\\
=\int{\frac{ \mbox{d}x }{x^2\left(x-1\right)} \mbox{d}x }\\
t=\frac{1}{x}\\
\mbox{d}t=-\frac{1}{x^2} \mbox{d}x \\
=-\int{\frac{ \mbox{d}t}{\frac{1}{t}-1}}\\
=-\int{\frac{ \mbox{d}t}{\frac{1-t}{t}}}\\
=\int{\frac{-t}{1-t} \mbox{d}t}\\
=\int{\frac{1-t-1}{1-t} \mbox{d}t}\\
=\int{ \mbox{d}t}+\int{\frac{- \mbox{d}t}{1-t}}\\
=t+\ln{\left| 1-t\right| }+C\\
=\frac{1}{x}+\ln{\left| \frac{x-1}{x}\right| }+C}\)