Reguła Hospitala

[NorthPersonage666]

Proszę obliczyć granicę funkcji korzystając z reguły De L'Hospitala.

\(\displaystyle{ \lim_{x \to 0^{+} } (sinx)^ {\frac{1}{lnx}}}\)

[NogaWeza]

Mamy \(\displaystyle{ f(x)^{g(x)} = e^{\ln{f(x)^{g(x)}} =e^{ g \left( x \right) \ln { f \left( x \right) }}}\), to się bierze z własności logarytmu \(\displaystyle{ \log_a{b^c} = c \cdot \log_a{b}}\).
Czyli \(\displaystyle{ (\sin{x})^{ \frac{1}{\ln{x}} } = e^{ \ln{ (\sin{x})^{ \frac{1}{\ln{x}} } } } = e^{ \frac{1}{\ln{x}} \cdot \ln{(\sin{x})}}}\), a zatem pozostaje zbadać granicę wyrażenia \(\displaystyle{ \frac{ \ln{(\sin{x})}}{ \ln{x} }}\) i tu już klasycznie możesz spałować de l'Hospitalem.

[NorthPersonage666]

Dziękuję

-- 29 sie 2015, o 19:43 --