Ortocentrum w trójkącie

[mol_ksiazkowy]

Dany jest trójkąt \(\displaystyle{ ABC}\) w którym kąt \(\displaystyle{ BAC=45^{o}}\) oraz kąty \(\displaystyle{ B , C < 90^{o}}\). Udowodnić, że \(\displaystyle{ AH =BC}\)

[nelcia27]

Wystarczy dorysować wszystkie wysokości i skorzystać z równości miar kątów wierzchołkowych, następnie z podobieństwa trójkątów i tego, że trójkąt prostokątny o kątach \(\displaystyle{ 45^{o},45^{o} i 90^{o}}\) jest równoramienny, skąd wyniknie przystawanie odpowiednich trójkątów i żądana równość.

[Michalinho]

Oznaczmy spodek wysokości opuszczonej z wierzchołka \(\displaystyle{ C}\) jako \(\displaystyle{ H_C}\).
Rozważmy obrót o kąt prosty, przeciwnie do wskazówek zegara względem punktu \(\displaystyle{ A}\) i nazwijmy to przekształcenie jako \(\displaystyle{ P}\).
Niech \(\displaystyle{ X=P(H), C'=P(C), Y=P(H_C)}\). Wtedy\(\displaystyle{ P(CH_C)=C'Y}\). Zauważmy, że \(\displaystyle{ AX\perp AH\Rightarrow AX\parallel BC}\). Ponadto
1) \(\displaystyle{ |AY|=|AH_C|=|CH_C|}\).
2) \(\displaystyle{ AY\parallel CH_C}\).
\(\displaystyle{ 1),2) \ \Rightarrow CY\parallel AB}\)
3) \(\displaystyle{ C'Y\parallel AB}\).
Z tych trzech prostych wniosków wynika, że \(\displaystyle{ C',Y,C}\) leżą na prostej równoległej do \(\displaystyle{ AB}\), stąd łatwo wywnioskować, że \(\displaystyle{ ABCX}\) jest równoległobokiem i \(\displaystyle{ |BC|=|AX|=|AH|}\).