Zadaenie ze średnią z konkursu im. Banacha

Smilek22 · Post autor: **Smilek22** » 27 sie 2015, o 12:51

Czy ktoś w sposób "bardziej algebraiczny" pomógłby rozwiązać mi poniższe zadanie?
W pewnej klasie każdy uczeń interesuje się polityką
lub sportem. Średnia ocen
końcoworocznych z matematyki uczniów intersujących
się polityką jest mniejsza
od czterech. Średnia ocen z matematyki uczniów intersujących się sportem także
jest mniejsza od czterech. Czy średnia arytmetyczna
ocen z matematyki
wszystkich uczniów może być większa od czterech?

Premislav · Post autor: **Premislav** » 27 sie 2015, o 13:21

Kluczowe słowo to "lub" (co nie wyklucza istnienia uczniów interesujących się zarówno polityką, jak i sportem), gdyby było "albo", to nie byłoby to możliwe.
Dla przykładu powiedzmy, że klasa liczy \(\displaystyle{ 30}\) osób, \(\displaystyle{ 10}\) osób ma pały z matmy, zaś pozostałe \(\displaystyle{ 20}\) ma szóstki, przy czym każda z tych \(\displaystyle{ 10}\) interesuje się zarówno polityką, jak i sportem, zaś spośród pozostałych \(\displaystyle{ 20}\) (tych szóstkowiczów) dokładnie \(\displaystyle{ 10}\) interesuje się polityką, ale nie sportem, a pozostałych \(\displaystyle{ 10}\) - sportem, ale nie polityką.
Odpowiednie średnie łatwo sobie wyliczysz.

Smilek22 · Post autor: **Smilek22** » 27 sie 2015, o 14:06

Dziękuję, podobne rozwiązanie mam. Chodzi mi o jego zalgebraizowanie.

Medea 2 · Post autor: **Medea 2** » 27 sie 2015, o 14:10

Ale dlaczego chcesz to algebraizować? Jeżeli pytanie brzmi "czy możliwe jest, aby...", zaś Ty znalazłaś przykład, że rzeczywiście jest to możliwe, to nie trzeba niczego więcej.