Dowód pewnych własności w grupie

[nelcia27]

Witam,
proszę o pomoc z następującym zadaniem:
Niech \(\displaystyle{ \alpha}\) będzie elementem grupy \(\displaystyle{ \left( \Gamma , * \right)}\) . Niech funkcja \(\displaystyle{ f _{ \alpha }: \Gamma \to \Gamma}\) będzie zadana przez \(\displaystyle{ f_{ \alpha } \left(\xi \right) = \alpha * \xi}\) . Dowieść, że \(\displaystyle{ f _{ \alpha }}\) jest bijekcją zbioru \(\displaystyle{ \Gamma}\). Dowieść też, że \(\displaystyle{ f_{ \alpha } \circ f _{ \beta }= f_{ \alpha * \beta }}\) oraz \(\displaystyle{ (f_{ \alpha }) ^{-1}= f_{ \alpha ^{-1} }}\) dla dowolnych \(\displaystyle{ \alpha , \beta \in \Gamma}\).
Moje rozwiązanie:
Załóżmy, nie wprost, że \(\displaystyle{ \exists \epsilon_{1}, \epsilon_{2} \in \Gamma [\epsilon_{1} \neq \epsilon_{2} \wedge f(\epsilon_{1})=f(\epsilon_{2})]}\)
Wtedy: \(\displaystyle{ \alpha *\epsilon_{1}= \alpha *\epsilon_{2}}\) i wykonując prawostronnie działanie oraz opierając się na łączności działania w grupie otrzymuję:
\(\displaystyle{ (\alpha *\epsilon_{1})*\epsilon_{1} ^{-1}=(\alpha *\epsilon_{2})*\epsilon_{1} ^{-1}}\), czyli:
lewa strona powyższego wyrażenia to \(\displaystyle{ \alpha}\), zatem prawa ma być też \(\displaystyle{ \alpha \Rightarrow \epsilon_{2}*\epsilon_{1} ^{-1}= \varepsilon (\varepsilon}\)- element neutralny). Zachodzi wobec tego: \(\displaystyle{ \epsilon_{2}*\epsilon_{1} ^{-1}= \varepsilon=\epsilon_{2}*\epsilon_{2}^{-1} \Rightarrow \epsilon_{2}*\epsilon_{1} ^{-1}=\epsilon_{2}*\epsilon_{2}^{-1}}\), wykonując prawostronnie działanie otrzymam: \(\displaystyle{ (\epsilon_{2}*\epsilon_{1} ^{-1})*\epsilon_{1}=(\epsilon_{2}*\epsilon_{2}^{-1})*\epsilon_{1}}\) skąd korzystając z łączności:\(\displaystyle{ \epsilon_{2}=\epsilon_{1}}\)- sprz. z założeniem, czyli funkcja jest różnowartościowa.
Dalej, \(\displaystyle{ forall eta in Gamma exists epsilon in Gamma [ eta = alpha *epsilon=f _{ alpha}(epsilon)}\) (wystarczy, że biorąc dowolne eta przedstawię je w postaci \(\displaystyle{ \beta = \alpha *\epsilon}\), a to zawsze jest możliwe, bo niech \(\displaystyle{ \epsilon= \alpha ^{-1}* \beta}\), czyli \(\displaystyle{ \alpha *\epsilon=\alpha *(\alpha ^{-1}* \beta)=(\alpha *\alpha ^{-1})* \beta= \beta)}\), zatem funkcja jest suriekcją.
Z powyższego funkcja jest bijekcją.
A dalej:
\(\displaystyle{ f_{ \alpha } \circ f _{ \beta }= f_{ \alpha }( f_{ \beta })= \alpha * (\beta *\epsilon )}\)
oraz \(\displaystyle{ f_{ \alpha * \beta }=( \alpha * \beta )*\epsilon}\), a stąd z łączności wynika: \(\displaystyle{ f_{ \alpha } \circ f _{ \beta }= f_{ \alpha * \beta }}\)
Czy to jest dobrze? Jak udowodnić tę ostatnią część?
Z góry dziękuję za pomoc

[Medea 2]

Załóżmy, nie wprost, że \(\displaystyle{ \exists \epsilon_{1}, \epsilon_{2} \in \Gamma [\epsilon_{1} \neq \epsilon_{2} \wedge f(\epsilon_{1})=f(\epsilon_{2})]}\)
Wtedy: \(\displaystyle{ \alpha *\epsilon_{1}= \alpha *\epsilon_{2}}\) i wykonując prawostronnie działanie oraz opierając się na łączności działania w grupie otrzymuję:
\(\displaystyle{ (\alpha *\epsilon_{1})*\epsilon_{1} ^{-1}=(\alpha *\epsilon_{2})*\epsilon_{1} ^{-1}}\), czyli:
lewa strona powyższego wyrażenia to \(\displaystyle{ \alpha}\), zatem prawa ma być też \(\displaystyle{ \alpha \Rightarrow \epsilon_{2}*\epsilon_{1} ^{-1}= \varepsilon (\varepsilon}\)- element neutralny). Zachodzi wobec tego: \(\displaystyle{ \epsilon_{2}*\epsilon_{1} ^{-1}= \varepsilon=\epsilon_{2}*\epsilon_{2}^{-1} \Rightarrow \epsilon_{2}*\epsilon_{1} ^{-1}=\epsilon_{2}*\epsilon_{2}^{-1}}\), wykonując prawostronnie działanie otrzymam: \(\displaystyle{ (\epsilon_{2}*\epsilon_{1} ^{-1})*\epsilon_{1}=(\epsilon_{2}*\epsilon_{2}^{-1})*\epsilon_{1}}\) skąd korzystając z łączności:\(\displaystyle{ \epsilon_{2}=\epsilon_{1}}\)- sprz. z założeniem, czyli funkcja jest różnowartościowa.

Po co to wszystko? Wystarczy na początku podzielić lewostronnie przez \(\displaystyle{ \alpha}\), by dostać równość \(\displaystyle{ \varepsilon_1 = \varepsilon_2}\). Twoje rozumowanie jest zakręcone i odnoszę wrażenie, że zawiera w sobie jakiś skrót (dlaczego nagle pojawia się element odwrotny do \(\displaystyle{ \varepsilon_2}\)?).

[nelcia27]

Mogłabyś pokazać mi całe rozwiązanie?

[Medea 2]

Pokażę, że \(\displaystyle{ f_\alpha}\) jest "na". Ustalmy dowolny \(\displaystyle{ g \in \Gamma}\). Wtedy \(\displaystyle{ f_\alpha(\alpha^{-1} \cdot g) = \alpha \alpha^{-1} g = g}\). Czyli mniej więcej to samo, co w Twoim rozwiązaniu, ale bez zbędnego lania wody i kwantyfikatorów.

Podpunkt ze składaniem uzasadniłaś poprawnie. Aby udowodnić ostatnią część, pokaż prawdziwość równoważnego stwierdzenia: \(\displaystyle{ f_{\alpha^{-1}} f_\alpha = \textrm{Id}_\Gamma}\).