Rozwiąż równanie

[brzydkadelta]

\(\displaystyle{ \lim_{n \to \infty} ( log_{8}x + log_{8}^{2}x + ... + log_{8}^{n}x) = \lim_{n \to \infty} (\frac{1 + 2 + 3 + ... + n}{ \sqrt{ n^{4} + 4} })}\)

Co z prawa stroną? Gdzieś indziej widziałem jakieś rozwiązanie gdzie skrócono to do sumy szeregu, ale czy to nie powinna być suma ciągu geometrycznego? W końcu jest skończona liczba wyrazów, czy czegoś nie rozumiem od tego gorąca.

[mortan517]

Po prawej w mianowniku na pewno ma być \(\displaystyle{ x}\)? W liczniku masz ciąg arytmetyczny.

[brzydkadelta]

Po prawej w mianowniku na pewno ma być \(\displaystyle{ x}\)? W liczniku masz ciąg arytmetyczny.

faktycznie, a to ze tam jest arytmetyczny to wiem. Bardziej chodzi mi o to co z lewą stroną.

[mortan517]

Po lewej mamy geometryczny.

[brzydkadelta]

\(\displaystyle{ \lim_{n \to \infty} (log_{8}x \frac{1-log_{8}^{n}x}{1-log_{8}x}) = \lim_{n \to \infty} (\frac{ \frac{n(1 + n)}{2}}{ n^{2}\sqrt{ 1 + \frac{4}{n ^{4}} } })}\)

???

[Nakahed90]

Jest ok. Granica prawej strony jest łatwa. Co możesz powiedzieć o zbieżności lewej strony? Do czego ona jest wtedy zbieżna?


PS. To przekształcenie jest prawdziwe pod jednym założeniem, zapomniałeś o nim wspomnieć (co się dzieje gdy \(\displaystyle{ log_{8}x =1}\)?).

[brzydkadelta]

Noo iloczyn musi należeć do (-1;1)
\(\displaystyle{ \left\{\begin{array}{l}log_{8}x>-1\\log_{8}x<1 \end{array}}\)
\(\displaystyle{ x \in ( \frac{1}{8}; 8 )}\)

[Nakahed90]

Policz teraz obie granice i rozwiąż otrzymane równanie ze względu na x.

[brzydkadelta]

\(\displaystyle{ L = \lim_{n \to \infty} (log_{8}x \frac{1-log_{8}^{n}x}{1-log_{8}x})}\)
\(\displaystyle{ P = \frac{1}{2}}\)
co tu najlepiej wyjąć?

[Nakahed90]

Jeżeli \(\displaystyle{ q\in (-1,1)}\) to do czego daży \(\displaystyle{ q^n}\)?

[brzydkadelta]

Nakahed90, zaraz zaraz, przez ten upał trochę namieszałem. Przecież q wcale nie musli należeć do (-1;1), bo to jest ciąg geometryczny, a nie szereg?

[Nakahed90]

Szereg jest granicą ciągu (w lekkim uproszczeniu oczywiście).

Jeżeli masz granicę postaci (czyli de facto szereg)
\(\displaystyle{ lim_{n \to \infty}\sum_{k=1}^n q^{k}}\)
to ona istnieje (w sensie granica skończona) wtedy i tylko wtedy, gdy \(\displaystyle{ q\in (-1,1)}\). Stąd narzucony został warunek, że \(\displaystyle{ log_{8}(x)\in(-1,1)}\), gdyż w przeciwnym wypadku nie ma sensu rozważania takiego równania (lewa strona albo jest równa \(\displaystyle{ \pm \infty}\) albo nie istnieje).