Równanie trygonometryczne OM

[Jever]

Witam.
Mam problem z tym zadaniem (5 zadanie z 1 etapu 49. OM):
Dana jest liczba całkowita \(\displaystyle{ n > 1}\). Rozwiązać równanie \(\displaystyle{ \left| \tg ^ {n} x - \ctg ^ {n}x \right| = 2n\left| \ctg2x\right|}\).

Opierając się na równości:
\(\displaystyle{ \tg ^ {n} x - \ctg ^ {n}x = \frac{\sin ^{n} x}{\cos ^{n} x} - \frac{\cos ^{n} x}{\sin ^{n} x} = \frac{\sin ^{2n} x - \cos ^{2n} x}{\cos ^{n}x \sin^{n}x} = \frac{-2 \cos ^{n} 2x}{\sin ^{n} 2x} = -2 \ctg2x}\),
po prostych przekształceniach wychodzi mi:
\(\displaystyle{ \left| \ctg^{n-1}2x \right| = n}\) dla \(\displaystyle{ n \neq 1}\).
I tutaj pojawia się problem. W oficjalnym rozwiązaniu tego zadania wychodzi na to, że nie ma rozwiązań dla \(\displaystyle{ n > 1}\), a w tym przypadku istnieje rozwiązanie chociażby dla \(\displaystyle{ n = 2}\).
Czy robię jakiś błąd dochodząc do ostatniej postaci równania? Jeżeli nie, to dlaczego moje rozwiązanie jest złe?

[Qń]

\(\displaystyle{ \frac{\sin ^{2n} x - \cos ^{2n} x}{\cos ^{n}x \sin^{n}x} = \frac{-2 \cos ^{n} 2x}{\sin ^{n} 2x}}\)

Przeanalizuj jeszcze raz to przejście.

Q.

[Jever]

Dzięki.
Jednak rozwiązywanie zadań po północy nie jest najlepszym pomysłem