[Nierówności] Nierownosc ze zmiennymi

[Zahion]

Liczby rzeczywiste dodatnie \(\displaystyle{ a,b,c}\) spelniaja rownanie
\(\displaystyle{ 7a^{2} + 5ab = 2b^{2} + 2c^{2}+4bc +4ac}\)
Udowodnij nierownosc
\(\displaystyle{ 5bc \le a^{2} + b^{2}+2ab +ac}\)

[Seth Briars]

\(\displaystyle{ 2b^2+2c^2+4bc+4ac-7a^2-5ab= \\ 2\left(c-\frac{-4(a+b)+\sqrt{72a(a+b)}}{4}\right)\left(c-\frac{-4(a+b)-\sqrt{72a(a+b)}}{4}\right)=0}\)
więc \(\displaystyle{ c=\frac{-(4b+4a)+\sqrt{72a(a+b)}}{4}}\) (bo \(\displaystyle{ a,b,c>0}\))

Z drugiej strony \(\displaystyle{ a^2+b^2+2ab+ac-5bc=(a+b)^2+c(a-5b)}\), więc gdy \(\displaystyle{ a-5b\ge 0}\) nierówność oczywiście zachodzi. Przypuśćmy, że \(\displaystyle{ a<5b}\).

Ponieważ \(\displaystyle{ 72a(a+b)(5b-a)^2-(24b(a+b))^2=72(a-8b)(a-b)^2(a+b) \le 0}\) więc \(\displaystyle{ \sqrt{72a(a+b)}(5b-a) \le 24b(a+b)}\). Ale

\(\displaystyle{ \sqrt{72a(a+b)}(5b-a)-24b(a+b)= \\ 4\left(\frac{-(4b+4a)+\sqrt{72a(a+b)}}{4}(5b-a)-(a+b)^2\right)}\)
skąd \(\displaystyle{ a^2+b^2+2ab+ac \ge 5bc}\), co kończy dowód.