Granica ciągu

[Mariusz0987]

Mam taką granicę:

\(\displaystyle{ \lim_{n\to\infty} \frac{ {n \choose 2}} { n^{2}+3n-1 }=\lim_{n\to\infty} \frac{ \frac{n!}{2!(n-2)!} }{n^2(1+ \frac{3}{n}- \frac{1}{n^2} ) } = \lim_{n\to\infty} \frac{ \frac{n!}{2 \cdot 1(n-2)(n-1)n!} }{n^2 } = \lim_{n\to\infty} \frac{ \frac{1}{2 \cdot 1(n-2)(n-1)} }{n^2 }}\)

\(\displaystyle{ \lim_{n\to\infty} \frac{1}{(2n-4)(n-1)} \cdot}\) i tu mam problem czy będzie \(\displaystyle{ \frac{1}{n^2}}\) czy \(\displaystyle{ \frac{n^2}{1}}\) i dlaczego?

Może mi ktoś to rozpisać i wytłumaczyć dlaczego będzie pierwsza lub druga opcja?

[Dasio11]

\(\displaystyle{ \lim_{n\to\infty} \frac{ \frac{n!}{2!(n-2)!} }{n^2(1+ \frac{3}{n}- \frac{1}{n^2} ) } = \lim_{n\to\infty} \frac{ \frac{n!}{2 \cdot 1(n-2)(n-1)n!} }{n^2 }}\)

W tym miejscu jest błąd. Skorzystałeś z równości

\(\displaystyle{ (n-2)! = (n-2)(n-1) n!}\)

a tymczasem jest na odwrót:

\(\displaystyle{ n! = n \cdot (n-1) \cdot (n-2)!}\)

Czyli tamto przejście powinno wyglądać tak:

\(\displaystyle{ \lim_{n \to \infty} \frac{ \frac{n!}{2!(n-2)!} }{n^2 \left( 1+ \frac{3}{n}- \frac{1}{n^2} \right) } = \lim_{n \to \infty} \frac{ \frac{n (n-1) (n-2)!}{2 \cdot (n-2)!} }{n^2 \left( 1+ \frac{3}{n}- \frac{1}{n^2} \right) }.}\)

[Mariusz0987]

W tym miejscu gdzie miałem źle z n! to jest jakaś zasada do ilu trzeba to rozpisać (ile razy)? Czy jakby dopisać jeszcze (n-3)! to by był błąd? Czy chodzi o to żeby rozpisać tak aby pasowało do mianownika (żeby można było np. skrócić)?

[Dasio11]

Czy chodzi o to żeby rozpisać tak aby pasowało do mianownika (żeby można było np. skrócić)?

Chodzi dokładnie o to.

[Mariusz0987]

Dzięki już chyba rozumiem.