Liczba 3cyfrowa o największej liczbie dzielników...
Liczba 3cyfrowa o największej liczbie dzielników...
Jak w temacie. Jaka to liczba? Jak to wykazać? Z góry dzięki!
-
- Użytkownik
- Posty: 89
- Rejestracja: 14 kwie 2010, o 22:00
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Łódź
- Podziękował: 7 razy
- Pomógł: 9 razy
Liczba 3cyfrowa o największej liczbie dzielników...
Najwięcej dzielników mają liczby postaci \(\displaystyle{ n=k!}\). Wystarczy znaleźć taką liczbę, mniejszą od 1000. (znaleźć naturalne rozwiązanie równania \(\displaystyle{ k!<1000}\)).
Najprościej metodą prób i błędów
A dowodem tego jest to, że liczbę k! można przestawić jako iloczyn wszystkich liczb naturalnych mniejszych od niej. Każdy z czynników jest dzielnikiem tej liczby. Nie istnieje liczba, która miałaby więcej dzielników niż czynników (pierwszych lub złożonych) Stąd szukana liczba ma postać k!.
Najprościej metodą prób i błędów
A dowodem tego jest to, że liczbę k! można przestawić jako iloczyn wszystkich liczb naturalnych mniejszych od niej. Każdy z czynników jest dzielnikiem tej liczby. Nie istnieje liczba, która miałaby więcej dzielników niż czynników (pierwszych lub złożonych) Stąd szukana liczba ma postać k!.
- pelas_91
- Użytkownik
- Posty: 838
- Rejestracja: 7 cze 2007, o 19:39
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Poznań
- Podziękował: 119 razy
- Pomógł: 71 razy
Liczba 3cyfrowa o największej liczbie dzielników...
Niestety to rozumowanie jest błędne. Widać to już dla liczb dwucyfrowych.archimedes pisze:Najwięcej dzielników mają liczby postaci \(\displaystyle{ n=k!}\). Wystarczy znaleźć taką liczbę, mniejszą od 1000. (znaleźć naturalne rozwiązanie równania \(\displaystyle{ k!<1000}\)).
Najprościej metodą prób i błędów
A dowodem tego jest to, że liczbę k! można przestawić jako iloczyn wszystkich liczb naturalnych mniejszych od niej. Każdy z czynników jest dzielnikiem tej liczby. Nie istnieje liczba, która miałaby więcej dzielników niż czynników (pierwszych lub złożonych) Stąd szukana liczba ma postać k!.
4!=24 < 100 i 5!=120 > 100.
Natomiast liczby 60, 72, 84, 90 i 96 mają więcej dzielników niż 24
- Medea 2
- Użytkownik
- Posty: 2491
- Rejestracja: 30 lis 2014, o 11:03
- Płeć: Kobieta
- Podziękował: 23 razy
- Pomógł: 479 razy
Liczba 3cyfrowa o największej liczbie dzielników...
Można się zastanowić, przy jakich ograniczeniach między \(\displaystyle{ a}\) i \(\displaystyle{ b}\) najwięcej dzielników ma wielokrotność silnii (tutaj rekordzistka to \(\displaystyle{ 840}\)). Pouczająca może być lektura , gdzie znaleźć możemy informację (całkiem oczywistą), że wysoce złożone liczby dzielą się przez kolejne liczby pierwsze (bez pomijania żadnej).
Kod: Zaznacz cały
https://oeis.org/A002182