Znaleźć współczynniki funkcji kwadr. przech. przez 3 punkty

[wojtek199]

Witam,
nie znalazłem odpowiedzi w innych postach więc zakładam swój wątek.

Dane są 3 pary liczb (x1,y1) (x2,y2) (x3,y3)
Przez te 3 punkty należy przeprowadzić parabolę i podać jej współczynniki a,b,c.
Punkty są dowolne, nie leżą na osiach x ani y, ani żaden nie jest wierzchołkiem paraboli.

Chciałbym napisać prosty program który po podaniu tych 3 par wyrzuca 3 współczynniki.
Dlatego wdzięczny byłbym za podpowiedź nadającą się do napisania programu, np bez działania na macierzach (jeśli się da).
Wojtek

[chlorofil]

Jak najbardziej się da. Musisz po prostu napisać układ 3 równań z 3 niewiadomymi. Będzie to układ równań liniowych, który możesz, ale nie musisz rozwiązywać metodą macierzową.

[wojtek199]

Dzieki chlorofil.
Skoro dla funkcji liniowej y=ax+b,
istnieją gotowe wzory na współczynniki:
a=(y2-y1)/(x2-x1)
b=y1-ax1


To może dla funkcji 2-go stopnia też istnieją takie wzory?
Byłby one analogiczne:
a=f(x1,y1,x2,y2,x3,y3)
b=f(x1,y1,x2,y2,x3,y3)
c=f(x1,y1,x2,y2,x3,y3)

Czy na pewno nie ma?

[Dilectus]

Te trzy punkty spełniają równanie paraboli

\(\displaystyle{ y=ax^2+bx+c}\)

A więc mamy układ trzech równań (liniowych!)

\(\displaystyle{ \begin{cases} y_1=ax_1^2+bx_1+c \\ y_2=ax_2^2+bx_2+c \\y_3=ax_3^2+bx_3+c \end{cases}}\)

Skąd

\(\displaystyle{ a= ...}\)

\(\displaystyle{ b= ...}\)

\(\displaystyle{ c= ...}\)

[wojtek199]

Dilectus,
oczywiście masz rację. Jednak program chcę wcisnąć do mikrokontrolera (mało pamięci) a jak analitycznie wyliczę a=, b=, c= to wzory będą skomplikowane i z warunkami i wogóle.
Chciałbym takie proste wzory jak sam podałem dla funkcji liniowej.

A jak nie ma, to chciałbym algorytm z macierzami, ale nie taki wyliczający pierwiastki ale wyliczający współczynniki.

[Dilectus]

A jak nie ma, to chciałbym algorytm z macierzami, ale nie taki wyliczający pierwiastki ale wyliczający współczynniki.

Toż przecież układ trzech równań liniowych z trzema niewiadomymi można rozwiązywać metodą macierzową - wiesz wyznaczniki \(\displaystyle{ W, \ W_a, \ W_b, \ W_c}\) itd.

Ten układ wylicza współczynniki \(\displaystyle{ a, \ b, \ c}\) funkcji kwadratowej \(\displaystyle{ y=ax^2+bx+c}\), o które Ci przecież chodzi.