przedział zbieżności
- waliant
- Użytkownik
- Posty: 1801
- Rejestracja: 9 gru 2010, o 22:16
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: warszawa
- Podziękował: 275 razy
- Pomógł: 183 razy
przedział zbieżności
jak znaleźć przedział zbieżności takiego szeregu:
\(\displaystyle{ \sum_{n=0}^{ \infty } \frac{e^{inz}}{n^2} \ \ \ z \in \CC}\) ?
stosując kryterium d'Alamberta wychodzi \(\displaystyle{ \lim_{ n\to \infty } \left| \frac{a_{n+1}}{a_n} \right| =\left| e^{iz}\right|}\) , i teraz jeśli \(\displaystyle{ \left| e^{iz}\right|<1}\) to jest zbieżny a jeśli \(\displaystyle{ \left| e^{iz}\right|>1}\) to rozbieżny. Tylko jak policzyć te nierówności?
\(\displaystyle{ \sum_{n=0}^{ \infty } \frac{e^{inz}}{n^2} \ \ \ z \in \CC}\) ?
stosując kryterium d'Alamberta wychodzi \(\displaystyle{ \lim_{ n\to \infty } \left| \frac{a_{n+1}}{a_n} \right| =\left| e^{iz}\right|}\) , i teraz jeśli \(\displaystyle{ \left| e^{iz}\right|<1}\) to jest zbieżny a jeśli \(\displaystyle{ \left| e^{iz}\right|>1}\) to rozbieżny. Tylko jak policzyć te nierówności?
-
- Użytkownik
- Posty: 270
- Rejestracja: 21 lis 2010, o 22:23
- Płeć: Mężczyzna
- Podziękował: 5 razy
- Pomógł: 35 razy
przedział zbieżności
\(\displaystyle{ |e^{iz}| = 1}\), bo to liczba pod modułem leży na okręgu zespolonym. Kryterium Cauchy'ego też nie za bardzo Ci pomoże. Ale jak spróbujesz zbadać zbieżność bezwzględną, mając na uwadze powyższą równość, to...
- yorgin
- Użytkownik
- Posty: 12762
- Rejestracja: 14 paź 2006, o 12:09
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Kraków
- Podziękował: 17 razy
- Pomógł: 3440 razy
przedział zbieżności
Ten wniosek jest błędny. I to nawet gdyby istniało \(\displaystyle{ z\in\CC}\) takie, że nierówność jest spełniona (por. post MadJacka).waliant pisze: a jeśli \(\displaystyle{ \left| e^{iz}\right|>1}\) to rozbieżny.
Nie wiem, gdyż nie rozumiem, co to znaczy "policzyć nierówności".waliant pisze: Tylko jak policzyć te nierówności?
- AiDi
- Moderator
- Posty: 3853
- Rejestracja: 25 maja 2009, o 22:58
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Warszawa
- Podziękował: 47 razy
- Pomógł: 703 razy
przedział zbieżności
Powiedzieć ile ich jest, ja widzę dwie, problem solvedyorgin pisze: Nie wiem, gdyż nie rozumiem, co to znaczy "policzyć nierówności".
- waliant
- Użytkownik
- Posty: 1801
- Rejestracja: 9 gru 2010, o 22:16
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: warszawa
- Podziękował: 275 razy
- Pomógł: 183 razy
przedział zbieżności
a jeśli \(\displaystyle{ z=i}\) ?MadJack pisze:\(\displaystyle{ |e^{iz}| = 1}\), bo to liczba pod modułem leży na okręgu zespolonym. Kryterium Cauchy'ego też nie za bardzo Ci pomoże..
no tak, wstyd, rozwiązać.yorgin pisze: Nie wiem, gdyż nie rozumiem, co to znaczy "policzyć nierówności".
-
- Użytkownik
- Posty: 270
- Rejestracja: 21 lis 2010, o 22:23
- Płeć: Mężczyzna
- Podziękował: 5 razy
- Pomógł: 35 razy
przedział zbieżności
Nie wiem, co się ze mną ostatnio dzieje. Kolejny wątek, w którym namieszałem...
Z kryterium d'Alemberta, z uwagi rafalpw, i tego, co napisałem w swoim nieszczęsnym poście (tylko biorąc \(\displaystyle{ z \in \mathbb{R}}\)...) możesz stwierdzić, że zbieżność zachodzi dla \(\displaystyle{ |e^{iz}| \le 1}\), czyli dla \(\displaystyle{ \Im(z) \ge 0}\). Natomiast gdy \(\displaystyle{ |e^{iz}| > 1}\), to kryterium d'Alamberta pozwala Ci jedynie na stwierdzenie, że ten szereg nie jest bezwzględnie zbieżny, o czym pewnie pisał yorgin. Natomiast zauważ, że jeśli zachodzi ta nierówność, to nie będzie spełniony warunek konieczny zbieżności szeregu.
Mam nadzieję, że tym razem niczego nie pokręciłem. Najmocniej przepraszam, bo mogłem wprowadzić w naprawdę poważny błąd.
Z kryterium d'Alemberta, z uwagi rafalpw, i tego, co napisałem w swoim nieszczęsnym poście (tylko biorąc \(\displaystyle{ z \in \mathbb{R}}\)...) możesz stwierdzić, że zbieżność zachodzi dla \(\displaystyle{ |e^{iz}| \le 1}\), czyli dla \(\displaystyle{ \Im(z) \ge 0}\). Natomiast gdy \(\displaystyle{ |e^{iz}| > 1}\), to kryterium d'Alamberta pozwala Ci jedynie na stwierdzenie, że ten szereg nie jest bezwzględnie zbieżny, o czym pewnie pisał yorgin. Natomiast zauważ, że jeśli zachodzi ta nierówność, to nie będzie spełniony warunek konieczny zbieżności szeregu.
Mam nadzieję, że tym razem niczego nie pokręciłem. Najmocniej przepraszam, bo mogłem wprowadzić w naprawdę poważny błąd.
- Dasio11
- Moderator
- Posty: 10261
- Rejestracja: 21 kwie 2009, o 19:04
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Wrocław
- Podziękował: 41 razy
- Pomógł: 2381 razy
przedział zbieżności
1. Z kryterium d'Alemberta można stwierdzić, że szereg jest zbieżny bezwzględnie gdy \(\displaystyle{ |e^{iz}| < 1}\) (nierówność jest ostra);MadJack pisze:Z kryterium d'Alemberta, z uwagi rafalpw, i tego, co napisałem w swoim nieszczęsnym poście (tylko biorąc \(\displaystyle{ z \in \mathbb{R}}\)...) możesz stwierdzić, że zbieżność zachodzi dla \(\displaystyle{ |e^{iz}| \le 1}\), czyli dla \(\displaystyle{ \Im(z) \ge 0}\). Natomiast gdy \(\displaystyle{ |e^{iz}| > 1}\), to kryterium d'Alamberta pozwala Ci jedynie na stwierdzenie, że ten szereg nie jest bezwzględnie zbieżny
2. W przypadku \(\displaystyle{ |e^{iz}| > 1}\) kryterium d'Alemberta stwierdza, że szereg jest rozbieżny.
- Dasio11
- Moderator
- Posty: 10261
- Rejestracja: 21 kwie 2009, o 19:04
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Wrocław
- Podziękował: 41 razy
- Pomógł: 2381 razy
przedział zbieżności
Zapisujesz \(\displaystyle{ z = x + yi}\) i zauważasz, że \(\displaystyle{ \left| e^{iz} \right| = e^{-y},}\) więc zostają do rozwiązania nierówności \(\displaystyle{ e^{-y} < 1}\) i \(\displaystyle{ e^{-y} > 1.}\)
- waliant
- Użytkownik
- Posty: 1801
- Rejestracja: 9 gru 2010, o 22:16
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: warszawa
- Podziękował: 275 razy
- Pomógł: 183 razy
przedział zbieżności
zatem \(\displaystyle{ e^{-y} < 1 \Leftrightarrow y>0}\), więc szereg jest zbieżny bezwzględnie dla \(\displaystyle{ Re(z) \in \RR \wedge Im(z)>0}\) oraz szereg jest rozbieżny dla \(\displaystyle{ Re(z) \in \RR \wedge Im(z)<0}\) , tak?
dla formalności, bo już się gubię: zbieżność bezwzględna implikuje zbieżność, dla szeregów zespolonych również?
dla formalności, bo już się gubię: zbieżność bezwzględna implikuje zbieżność, dla szeregów zespolonych również?
- Dasio11
- Moderator
- Posty: 10261
- Rejestracja: 21 kwie 2009, o 19:04
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Wrocław
- Podziękował: 41 razy
- Pomógł: 2381 razy
przedział zbieżności
Tak. Szereg jest zbieżny dla \(\displaystyle{ \Im(z) > 0,}\) więc należy znaleźć taki szereg zbieżny \(\displaystyle{ \sum_{n=1}^{\infty} a_n,}\) że
\(\displaystyle{ \left| \frac{e^{inz}}{n^2} \right| \le a_n}\) dla wszystkich takich \(\displaystyle{ z.}\)
\(\displaystyle{ \left| \frac{e^{inz}}{n^2} \right| \le a_n}\) dla wszystkich takich \(\displaystyle{ z.}\)