Obliczyć całki nieoznaczone

[puma941]

a) \(\displaystyle{ \int \left( 1+x\right) \sqrt{4+ x^{2} }dx}\)

b) \(\displaystyle{ \int \frac{2x+1}{ \left( x^{2}+1 \right) ^{2}}dx}\)

Pomoże ktoś?

[mortan517]

Pierwszą możesz rozbić na dwie całki i będzie odpowiednio podstawienie Eulera oraz przez zwykłe podstawienie.

Drugą też rozbij, do pierwszej podstawienie, a następna przez części (było tutaj wiele razy).

[puma941]

Z drugą sobie poradziłam

A pierwszą jak rozbić?

[M Ciesielski]

\(\displaystyle{ \int \left( 1+x\right) \sqrt{4+ x^{2} }\mbox{d}x = \int \sqrt{4+x^2} \mbox{d}x +\int x \sqrt{4+x^2} \mbox{d}x}\)

W pierwszej podstaw \(\displaystyle{ \sqrt{4+x^2} = t-x}\), w drugiej \(\displaystyle{ x^2+4 = s}\). Druga jest prosta, więc zostawię bez komentarza, za to w pierwszej powyższą równość podnosisz stronami do kwadratu, redukujesz co się da, wyznaczasz z równania \(\displaystyle{ x}\) i różniczkujesz stronami. Zostanie całka wymierna, w której dość solidnie niektóre rzeczy da się poskracać.

[mortan517]

Jeżeli nie podstawienie Eulera, to można jeszcze \(\displaystyle{ y=2\tan x}\).

[Mariusz M]

Pierwszą całkę można też od razu podstawieniem Eulera
\(\displaystyle{ \int{\left( 1+x\right) \sqrt{4+x^2} \mbox{d}x }\\
\sqrt{4+x^2}=t-x
4+x^2=t^2-2tx+x^2
4=t^2-2tx\\
2tx=t^2-4\\
x=\frac{t^2-4}{2t}\\
\mbox{d}x =\frac{2t \cdot 2t-2\left( t^2-4\right) }{4t^2} \mbox{d}t\\
\mbox{d}x =\frac{t^2+4}{2t^2} \mbox{d}t\\
1+x= \frac{t^2+2t-4}{2t}\\
\sqrt{4+x^2}=t-x=t-\frac{t^2-4}{2t}=\frac{2t^2-t^2+4}{2t} \\
\sqrt{4+x^2}=\frac{t^2+4}{2t}\\
\int{\frac{t^2+2t-4}{2t} \cdot \frac{t^2+4}{2t} \cdot \frac{t^2+4}{2t^2} \mbox{d}t}\\
\int{\frac{\left( t^2+2t-4\right)\left( t^4+8t^2+16\right) }{8t^4} \mbox{d}t}\\}\)


Druga całka
79919.htm
chociaż lepiej zajrzeć do Fichtenholza