przedział zbieżności

[waliant]

jak znaleźć przedział zbieżności takiego szeregu:

\(\displaystyle{ \sum_{n=0}^{ \infty } \frac{e^{inz}}{n^2} \ \ \ z \in \CC}\) ?

stosując kryterium d'Alamberta wychodzi \(\displaystyle{ \lim_{ n\to \infty } \left| \frac{a_{n+1}}{a_n} \right| =\left| e^{iz}\right|}\) , i teraz jeśli \(\displaystyle{ \left| e^{iz}\right|<1}\) to jest zbieżny a jeśli \(\displaystyle{ \left| e^{iz}\right|>1}\) to rozbieżny. Tylko jak policzyć te nierówności?

[MadJack]

\(\displaystyle{ |e^{iz}| = 1}\), bo to liczba pod modułem leży na okręgu zespolonym. Kryterium Cauchy'ego też nie za bardzo Ci pomoże. Ale jak spróbujesz zbadać zbieżność bezwzględną, mając na uwadze powyższą równość, to...

[yorgin]

a jeśli \(\displaystyle{ \left| e^{iz}\right|>1}\) to rozbieżny.

Ten wniosek jest błędny. I to nawet gdyby istniało \(\displaystyle{ z\in\CC}\) takie, że nierówność jest spełniona (por. post MadJacka).

Tylko jak policzyć te nierówności?

Nie wiem, gdyż nie rozumiem, co to znaczy "policzyć nierówności".

[AiDi]

Nie wiem, gdyż nie rozumiem, co to znaczy "policzyć nierówności".

Powiedzieć ile ich jest, ja widzę dwie, problem solved

[waliant]

\(\displaystyle{ |e^{iz}| = 1}\), bo to liczba pod modułem leży na okręgu zespolonym. Kryterium Cauchy'ego też nie za bardzo Ci pomoże..

a jeśli \(\displaystyle{ z=i}\) ?

Nie wiem, gdyż nie rozumiem, co to znaczy "policzyć nierówności".

no tak, wstyd, rozwiązać.

[rafalpw]

\(\displaystyle{ \left| e^{iz}\right|=e^{- y}}\) , gdzie \(\displaystyle{ z=x+iy}\).

[MadJack]

Nie wiem, co się ze mną ostatnio dzieje. Kolejny wątek, w którym namieszałem...
Z kryterium d'Alemberta, z uwagi rafalpw, i tego, co napisałem w swoim nieszczęsnym poście (tylko biorąc \(\displaystyle{ z \in \mathbb{R}}\)...) możesz stwierdzić, że zbieżność zachodzi dla \(\displaystyle{ |e^{iz}| \le 1}\), czyli dla \(\displaystyle{ \Im(z) \ge 0}\). Natomiast gdy \(\displaystyle{ |e^{iz}| > 1}\), to kryterium d'Alamberta pozwala Ci jedynie na stwierdzenie, że ten szereg nie jest bezwzględnie zbieżny, o czym pewnie pisał yorgin. Natomiast zauważ, że jeśli zachodzi ta nierówność, to nie będzie spełniony warunek konieczny zbieżności szeregu.
Mam nadzieję, że tym razem niczego nie pokręciłem. Najmocniej przepraszam, bo mogłem wprowadzić w naprawdę poważny błąd.

[Dasio11]

Z kryterium d'Alemberta, z uwagi rafalpw, i tego, co napisałem w swoim nieszczęsnym poście (tylko biorąc \(\displaystyle{ z \in \mathbb{R}}\)...) możesz stwierdzić, że zbieżność zachodzi dla \(\displaystyle{ |e^{iz}| \le 1}\), czyli dla \(\displaystyle{ \Im(z) \ge 0}\). Natomiast gdy \(\displaystyle{ |e^{iz}| > 1}\), to kryterium d'Alamberta pozwala Ci jedynie na stwierdzenie, że ten szereg nie jest bezwzględnie zbieżny

1. Z kryterium d'Alemberta można stwierdzić, że szereg jest zbieżny bezwzględnie gdy \(\displaystyle{ |e^{iz}| < 1}\) (nierówność jest ostra);
2. W przypadku \(\displaystyle{ |e^{iz}| > 1}\) kryterium d'Alemberta stwierdza, że szereg jest rozbieżny.

[waliant]

pewnie to jakieś proste, ale nie widzę, jak rozwiązać te nierówności.

[Dasio11]

Zapisujesz \(\displaystyle{ z = x + yi}\) i zauważasz, że \(\displaystyle{ \left| e^{iz} \right| = e^{-y},}\) więc zostają do rozwiązania nierówności \(\displaystyle{ e^{-y} < 1}\) i \(\displaystyle{ e^{-y} > 1.}\)

[waliant]

zatem \(\displaystyle{ e^{-y} < 1 \Leftrightarrow y>0}\), więc szereg jest zbieżny bezwzględnie dla \(\displaystyle{ Re(z) \in \RR \wedge Im(z)>0}\) oraz szereg jest rozbieżny dla \(\displaystyle{ Re(z) \in \RR \wedge Im(z)<0}\) , tak?

dla formalności, bo już się gubię: zbieżność bezwzględna implikuje zbieżność, dla szeregów zespolonych również?

[rafalpw]

Tak.

[waliant]

a co możemy powiedzieć tu o zbieżności jednostajnej? można skorzystać jakoś z twierdzenia Weierstrassa?

[Dasio11]

Tak. Szereg jest zbieżny dla \(\displaystyle{ \Im(z) > 0,}\) więc należy znaleźć taki szereg zbieżny \(\displaystyle{ \sum_{n=1}^{\infty} a_n,}\) że

\(\displaystyle{ \left| \frac{e^{inz}}{n^2} \right| \le a_n}\) dla wszystkich takich \(\displaystyle{ z.}\)