Równania z kreską ułamkową.

[falek]

Witam.
Za rok mam zacząć się uczyć rozszerzonej matematyki, od początku biorę korepetycje - wybrałem z dwojga złego, pod koniec zaczęło jakoś trójkowo iść, uznałem, że lepsze to niż geografia. Ćwiczenia zacząłem już od algebry.
Z równaniami typu:
\(\displaystyle{ 2x+10=7x-5 \\
2x - 7x = -5 - 10 \\
-5x = -15/:-5}\)
\(\displaystyle{ x = 3}\) (dotyczy też opcji z ułamkami) sb radzę

Problem mam tylko z przykładami typu:
\(\displaystyle{ \frac{x-5}{x+2}=0}\)

Wiem o równaniach obustronnych, z oczywistych przyczyn wykluczam, że \(\displaystyle{ x=-2}\). Nie wiem tak naprawdę do czego dążę. Wydaje mi się, że korepetytor coś wspominał, że w takich przykładach \(\displaystyle{ x-5}\) bierzemy w nawias i traktujemy jako jedno wyrażenie, tak samo z \(\displaystyle{ x-2}\), ale nie jestem pewny. Nwm tak naprawdę do jakiej postaci dążę - wiem, że poznać \(\displaystyle{ x}\). Przychodzi mi na myśl, żeby wartości pod i nad kreskową ułamkową były takie same, lub, aby pod kreską było \(\displaystyle{ 1}\) - o to chodzi? Jest jakiś "algorytm" (tak jak przy prostszych równaniach jak te które podałem wyżej?)

[cosinus90]

Szczerze mówiąc nie rozumiem, o co pytasz. Równania "ułamkowe" - czyli równania wymierne, stosując terminologię matematyczną - rozwiązuje się tak jak napisałeś, wyznacza się najpierw dziedzinę na podstawie mianownika ułamka, a następnie przyrównuje się licznik do zera (zakładając, że po drugiej stronie równania jest zero).

[Jan Kraszewski]

Nwm tak naprawdę do jakiej postaci dążę - wiem, że poznać \(\displaystyle{ x}\).

Tu nie chodzi o przekształcanie tego ułamka. Po ustaleniu dziedziny musisz skorzystać z wiedzy, że ułamek jest równy zero dokładnie wtedy, gdy jego licznik jest równy zero.

JK

[Dilectus]

Nie wiem tak naprawdę do czego dążę.

Twoim zadaniem jest rozwiązanie "równania z kreską ułamkową", czyli tego:
\(\displaystyle{ \frac{x-5}{x+2}=0}\)

Rozwiązanie tego równania sprowadza się do odpowierdzi na pytanie: Kiedy ułamek równa się zeru?

Oczywiście ułamek równy jest zeru, gdy jego licznik równa się zeru. Możemy więc napisać:

\(\displaystyle{ \frac{x-5}{x+2}=0 \ \Leftrightarrow \ x-5 =0, c \Leftrightarrow \text{czyli gdy} \ x=5}\).
Musimy jeszcze wykluczyć przypadek zerowania się mianownika, bo mianownik ułamka nie może być zerem.

Zatem trzeba napisać

\(\displaystyle{ x+2 \neq 0 \Rightarrow \ x \neq -2}\). To ustalanie niedozwolonych w równaniu iksów zwiemy wyznaczaniem dziedziny równania.

[falek]

Przyrównuje do 0 czyli po prostu robi tak, żeby wartość licznika wynosiła 0? Z tego wynika, że tutaj na logikę będzie 5, taka odpowiedź jest w odpowiedziach, więc wydaje się ok, ale mianownik tak po prostu "zostawiam"? I czy w tego typu przykładach zawsze wychodzi równanie toższamościowe to jest - \(\displaystyle{ 0=0}\)? Proszę o odpowiedź czy mianownik mogę tak bez niczego potraktować jakby go nie było, a jeśli nie co z nim robić. Proszę o wytłumaczenie i może kilka tego typu przykładów. Dziękuję za pomoc.

[Jan Kraszewski]

Przyrównuje do 0 czyli po prostu robi tak, żeby wartość licznika wynosiła 0?

Tak.

I czy w tego typu przykładach zawsze wychodzi równanie tożsamościowe to jest - \(\displaystyle{ 0=0}\)?

Ale gdzie Ci wychodzi takie równanie? Po podstawieniu \(\displaystyle{ x=5}\)? No tak powinno być. Skoro to jest rozwiązanie, to po podstawieniu powinna Ci wyjść prawda i dotyczy to każdego równania, które rozwiązujesz, nie tylko tego.

Proszę o odpowiedź czy mianownik mogę tak bez niczego potraktować jakby go nie było, a jeśli nie co z nim robić.

Mianownik nie ma wpływu na zerowanie się ułamka, ma natomiast wpływ na dziedzinę.

JK

[falek]

Właśnie patrząc na rozwiązanie tego przykładu tak myślałem, ale tego mianownika nie byłem pewny. Dziękuję za pomoc i mam prośbę - możecie dać kilka podobnych przykładów? (w tym takich gdzie po drugiej stronie nie wychodzi 0, żebym spróbował?

[Dilectus]

Proszę o odpowiedź czy mianownik mogę tak bez niczego potraktować jakby go nie było

Możesz, ale tylko wtedy, gdy wiesz, że ten mianownik nie jest zerem. I to tylko w przypadkach, gdy prawą stroną "równania z kreską ułamkową" jest zero. Jeśli prawa strona "równania z kreską ułamkową" nie jest zerem, to trzeba je rozwiązywać wg powszechnie znanych zasad rozwiązywania równań wymiernych.



-- 3 lip 2015, o 19:11 --

możecie dać kilka podobnych przykładów? (w tym takich gdzie po drugiej stronie nie wychodzi 0, żebym spróbował?

Weźmy proste równanie wymierne

\(\displaystyle{ \frac{x-a}{x-b}=\text{coś tam}}\)

1. Najpierw określamy dziedzinę, czyli zbiór dozwolonych iksów.
W tym równaniu musi być

\(\displaystyle{ x \neq b}\)

2. Przenieśmy wszystko na jedną stronę

\(\displaystyle{ \frac{x-a}{x-b}-\text{coś tam}=0}\)

3. Sprowadźmy lewą stronę do wspólnego mianownika

\(\displaystyle{ \frac{x-a}{x-b}- \frac{\left( \text{coś tam}\right)\left( x-b\right) }{x-b} =0}\)

4. Napiszmy to na jednej kresce

\(\displaystyle{ \frac{x-a-\left( \text{coś tam}\right)\cdot \left( x-b\right)}{x-b}=0}\)

5. I teraz licznik przyrównujemy do zera

\(\displaystyle{ x-a-\left( \text{coś tam}\right) \cdot \left( x-b\right)=0}\)

\(\displaystyle{ x\left( 1-\text{coś tam}\right) =a-b \cdot \left( \text{coś tam}\right)}\)

\(\displaystyle{ x= \frac{a-b \cdot \left( \text{coś tam}\right)}{ 1-\text{coś tam} }}\)

Oczywiście musi być \(\displaystyle{ \text{coś tam} \neq 1}\) (dlaczego?)

[falek]

Nie dzielimy przez 0 - a ten przykład? Mogę go traktować jak proporcję?

\(\displaystyle{ \frac{3x-1}{x+2}= \frac{2}{3} \\
(3x-1) \cdot 3=(x+2) \cdot 2 \\
9x-3=2x+4 \\
9x-2x=4+3 \\
7x=7/:7 \\
x=1}\)
Wow, zaczyna wychodzić. Ogólnie czy zawsze będzie tu można wykorzystywać proporcję? W sumie chyba bardziej się bałem, że tego nie umiem niż nie umiem.

[Jan Kraszewski]

\(\displaystyle{ 9x-2x=4+3 \\
7=7}\)

A co to jest? Bo na pewno nie rozwiązanie.

Ogólnie czy zawsze będzie tu można wykorzystywać proporcję?

W równaniach można, ale nie zapominaj o dziedzinie.

JK

[falek]

Wybaczcie, chyba zmęczenie. Teraz wszystko jest ok?

[Jan Kraszewski]

Teraz tak (tylko nie sprawdziłeś dziedziny).

JK

[falek]

A przykład:

\(\displaystyle{ \frac{1}{x-1} +2=0}\)

Na ten już nie mam pomysłu.

\(\displaystyle{ x \neq 1}\) to na pewno, ale co dalej?

Dobra wiem - jest jakiś sposób, żeby sobie z tym radzić? Musiałem zobaczyć podobny (nie identyczny) przykład na video, aby wiedzieć co zrobić, a samemu myślałem długo i nic, a to jeden z prostszych:
\(\displaystyle{ \frac{1}{x-1} +2=0/:(x-1) \\
1+2(x-1)=0 \\
1+2x-2=0 \\
2x=2-1 \\
2x=1/:2}\)
\(\displaystyle{ x= \frac{1}{2}}\)

[cz0rnyfj]

\(\displaystyle{ \frac{1}{x-1} +2=0/:(x-1)}\)

Tutaj to mnożysz zamiast dzielić. Reszta widzę że dobrze więc pewnie pomyliłeś znaki jak pisałeś...

[pesel]

A przykład:

\(\displaystyle{ \frac{1}{x-1} +2=0}\)

Skoro lubisz z proporcji:

\(\displaystyle{ \frac{1}{x-1} =\frac{-2}{1}}\)