Mam do obliczenia takie równanie kwadratowe:
\(\displaystyle{ x^{2} - 4x - 6 = \sqrt{ 2x^{2} - 8x + 12 }}\)
podstawiam \(\displaystyle{ t = \sqrt{ x^{2} - 4x + 6 }}\)
i wychodzi \(\displaystyle{ t^{2} - 12 = \sqrt{2}t}\)
Teraz wyliczam deltę, ale rozwiązania są niezgodne z odpowiedzią.
Gdzie mam błąd?
Problem z równaniem kwadratowym
-
SlotaWoj
- Użytkownik
- Posty: 4207
- Rejestracja: 25 maja 2012, o 21:33
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Kraków PL
- Podziękował: 2 razy
- Pomógł: 758 razy
Problem z równaniem kwadratowym
A nie zapomniałeś dla obliczonych \(\displaystyle{ t_1}\) i \(\displaystyle{ t_2}\) zastosować podstawienia odwrotnego?
-
Baleron2
- Użytkownik
- Posty: 25
- Rejestracja: 25 maja 2015, o 19:18
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Pomorskie
- Podziękował: 17 razy
Problem z równaniem kwadratowym
Niestety, ale nadal jestem w kropce Za nic nie wychodzi mi poprawne rozwiązanie.
-
Medea 2
- Użytkownik
- Posty: 2489
- Rejestracja: 30 lis 2014, o 11:03
- Płeć: Kobieta
- Podziękował: 23 razy
- Pomógł: 479 razy
Problem z równaniem kwadratowym
A co jest w odpowiedzi? Zwykłe podniesienie obu stron do kwadratu i przeniesienie na jedną stronę daje \(\displaystyle{ 24 + 56 x + 2 x^2 - 8 x^3 + x^4 = 0}\), co dzięki tw. o pierwiastku wymiernym sprowadza się do \(\displaystyle{ x= 6}\), \(\displaystyle{ x = -2}\) lub \(\displaystyle{ x^2-4x-2 = 0}\) (brak pierwiastków rzeczywistych).
Dziedziną jest cały \(\displaystyle{ \RR}\), bo \(\displaystyle{ 2x^2-8x+12 = 2(x^2-4x+6) = 2(x-2)^2 + 4 > 0}\).
Dziedziną jest cały \(\displaystyle{ \RR}\), bo \(\displaystyle{ 2x^2-8x+12 = 2(x^2-4x+6) = 2(x-2)^2 + 4 > 0}\).
-
Baleron2
- Użytkownik
- Posty: 25
- Rejestracja: 25 maja 2015, o 19:18
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Pomorskie
- Podziękował: 17 razy
Problem z równaniem kwadratowym
Odpowiedź jest taka: \(\displaystyle{ x \in \left\{-2, 6 \right\}}\) i jest jeszcze wskazówka: podstaw \(\displaystyle{ t= \sqrt{ x^{2} - 4x + 6 }}\)
Ja to rozwiązywałem tak: \(\displaystyle{ x^{2} - 4x - 6 = \sqrt{ 2x^{2} - 8x + 12 }}\)
zgodnie ze wskazówką podstawiam \(\displaystyle{ t = \sqrt{ x^{2} - 4x + 6 }}\)
wyznaczam dziedzinę \(\displaystyle{ t \ge 0}\) oraz \(\displaystyle{ 2x^{2} - 8x + 12 \ge 0 \Rightarrow x \in R}\)
wychodzi
\(\displaystyle{ t^{2} - 12 = \sqrt{2 t^{2} }}\)
\(\displaystyle{ t^{2} - 12 = t\sqrt{2}}\)
\(\displaystyle{ t^{2} - t\sqrt{2} - 12 = 0}\)
teraz delta \(\displaystyle{ = 2+48=50}\)
I teraz że tak powiem wychodzi "brzydka" delta, a w odpowiedzi jest \(\displaystyle{ x \in \left\{-2, 6 \right\}}\)
Jeśli ktoś widzi błąd to proszę mówić z góry dzięki za pomoc.
Ja to rozwiązywałem tak: \(\displaystyle{ x^{2} - 4x - 6 = \sqrt{ 2x^{2} - 8x + 12 }}\)
zgodnie ze wskazówką podstawiam \(\displaystyle{ t = \sqrt{ x^{2} - 4x + 6 }}\)
wyznaczam dziedzinę \(\displaystyle{ t \ge 0}\) oraz \(\displaystyle{ 2x^{2} - 8x + 12 \ge 0 \Rightarrow x \in R}\)
wychodzi
\(\displaystyle{ t^{2} - 12 = \sqrt{2 t^{2} }}\)
\(\displaystyle{ t^{2} - 12 = t\sqrt{2}}\)
\(\displaystyle{ t^{2} - t\sqrt{2} - 12 = 0}\)
teraz delta \(\displaystyle{ = 2+48=50}\)
I teraz że tak powiem wychodzi "brzydka" delta, a w odpowiedzi jest \(\displaystyle{ x \in \left\{-2, 6 \right\}}\)
Jeśli ktoś widzi błąd to proszę mówić z góry dzięki za pomoc.
-
SlotaWoj
- Użytkownik
- Posty: 4207
- Rejestracja: 25 maja 2012, o 21:33
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Kraków PL
- Podziękował: 2 razy
- Pomógł: 758 razy
Problem z równaniem kwadratowym
Odpowiedź jest dobra. Piszę, bo w odpowiedziach czasami zdarzają się błędy.
A \(\displaystyle{ \Delta=50}\) i \(\displaystyle{ \sqrt{\Delta}=5\sqrt{2}}\) – rzeczywiście okropne.
A \(\displaystyle{ \Delta=50}\) i \(\displaystyle{ \sqrt{\Delta}=5\sqrt{2}}\) – rzeczywiście okropne.
-
Elayne
- Użytkownik
- Posty: 923
- Rejestracja: 24 paź 2011, o 01:24
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Polska
- Podziękował: 76 razy
- Pomógł: 278 razy
Problem z równaniem kwadratowym
\(\displaystyle{ x^2-4x-6= \sqrt{2x^2- 8x +12}\\
\\
x^2-4x-6 \ge 0\\
\Delta =(-4)^2-4 \cdot 1\cdot(-6)=40\\
x_{1}=\frac{4-\sqrt{40}}{2}=2-\sqrt{10}\\
x_{2}=\frac{4+\sqrt{40}}{2}=2+\sqrt{10}\\
x \in (- \infty,2-\sqrt{10} \rangle \cup \langle 2+\sqrt{10},\infty)\\
\\
2x^2-8x+12 \ge 0\\
x^2-4x+6 \ge 0\\
\Delta =(-4)^2-4 \cdot 1\cdot 6=-8\\
x \in \RR}\)
Stąd mamy: \(\displaystyle{ x \in (- \infty,2-\sqrt{10} \rangle \cup \langle 2+\sqrt{10},\infty)}\)
\(\displaystyle{ x^2-4x-6= \sqrt{2x^2- 8x +12}\\
x^2-4x-6= \sqrt{2(x^2- 4x-6)+24}\\
x^2-4x-6=t \cup t \ge 0\\
t=\sqrt{2t+24}\\
t^2=2t+24\\
t^2-2t-24=0\\
\Delta=(-2)^2 -4 \cdot 1 \cdot (-24)=100\\
t_{1}=\frac{2-\sqrt{100}}{2}=-4\\
t_{2}=\frac{2+\sqrt{100}}{2}=6}\)
\(\displaystyle{ t_{1}}\) jest mniejsze od zera, więc odpada
\(\displaystyle{ t=6\\
x^2-4x-6=6\\
x^2-4x-12=0\\
\Delta=(-4)^2 -4 \cdot 1 \cdot (-12)=64\\
x_{1}=\frac{4-\sqrt{64}}{2}=-2\\
x_{2}=\frac{4+\sqrt{64}}{2}=6}\)
\\
x^2-4x-6 \ge 0\\
\Delta =(-4)^2-4 \cdot 1\cdot(-6)=40\\
x_{1}=\frac{4-\sqrt{40}}{2}=2-\sqrt{10}\\
x_{2}=\frac{4+\sqrt{40}}{2}=2+\sqrt{10}\\
x \in (- \infty,2-\sqrt{10} \rangle \cup \langle 2+\sqrt{10},\infty)\\
\\
2x^2-8x+12 \ge 0\\
x^2-4x+6 \ge 0\\
\Delta =(-4)^2-4 \cdot 1\cdot 6=-8\\
x \in \RR}\)
Stąd mamy: \(\displaystyle{ x \in (- \infty,2-\sqrt{10} \rangle \cup \langle 2+\sqrt{10},\infty)}\)
\(\displaystyle{ x^2-4x-6= \sqrt{2x^2- 8x +12}\\
x^2-4x-6= \sqrt{2(x^2- 4x-6)+24}\\
x^2-4x-6=t \cup t \ge 0\\
t=\sqrt{2t+24}\\
t^2=2t+24\\
t^2-2t-24=0\\
\Delta=(-2)^2 -4 \cdot 1 \cdot (-24)=100\\
t_{1}=\frac{2-\sqrt{100}}{2}=-4\\
t_{2}=\frac{2+\sqrt{100}}{2}=6}\)
\(\displaystyle{ t_{1}}\) jest mniejsze od zera, więc odpada
\(\displaystyle{ t=6\\
x^2-4x-6=6\\
x^2-4x-12=0\\
\Delta=(-4)^2 -4 \cdot 1 \cdot (-12)=64\\
x_{1}=\frac{4-\sqrt{64}}{2}=-2\\
x_{2}=\frac{4+\sqrt{64}}{2}=6}\)
-
Baleron2
- Użytkownik
- Posty: 25
- Rejestracja: 25 maja 2015, o 19:18
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Pomorskie
- Podziękował: 17 razy
Problem z równaniem kwadratowym
Mam jeszcze jedno pytanie odnośnie tego zadania. Próbuję cały czas je rozwiązać swoim sposobem ale gdzieś robię błąd.
\(\displaystyle{ x^{2} - 4x - 6 = \sqrt{ 2x^{2} - 8x +12 }}\)
\(\displaystyle{ D_{1} = 2x^{2} -8x + 12 \ge 0}\)
\(\displaystyle{ \Delta = 64 - 96 < 0}\)
\(\displaystyle{ x \in R}\)
\(\displaystyle{ D_{2} = x^{2} - 4x - 6 \ge 0}\)
\(\displaystyle{ \Delta = 16 + 24 = 40}\)
\(\displaystyle{ x_{1} = \frac{4 - \sqrt{40} }{2} = \frac{4 - 2\sqrt{10} }{2}}\)
\(\displaystyle{ x_{2} = \frac{4 + \sqrt{40} }{2} = \frac{4 + 2\sqrt{10} }{2}}\)
\(\displaystyle{ D_{1} \cap D_{2} = x \in \left( -\infty ; 2 - \sqrt{10} \right) \cup \left(2 + \sqrt{10} ; \infty \right)}\)
\(\displaystyle{ x^{2} - 4x - 6 = \sqrt{2x ^{2} - 8x +12 }}\)
\(\displaystyle{ \sqrt{x ^{2} - 4x + 6} = t}\)
\(\displaystyle{ D = t \ge 0}\)
\(\displaystyle{ t^{2} - 12 = \sqrt{2t ^{2} }}\)
\(\displaystyle{ t^{2} - 12 = t \sqrt{2}}\)
\(\displaystyle{ t ^{2} - \sqrt{2}t - 12 = 0}\)
\(\displaystyle{ \Delta = 2 + 48 = 50}\)
\(\displaystyle{ t _{1} = \frac{ \sqrt{2} - \sqrt{50} }{2} < 0 \not\in D}\)
\(\displaystyle{ t _{2} = \frac{ \sqrt{2} + \sqrt{50} }{2} \in D}\)
\(\displaystyle{ \sqrt{x ^{2} - 4x + 6 } = \frac{ \sqrt{2} + \sqrt{50}}{2}}\)
\(\displaystyle{ 2 \sqrt{x ^{2} - 4x + 6 } = \sqrt{2} + \sqrt{50}}\) do kwadratu obie strony
\(\displaystyle{ 4 \cdot \left( x ^{2} - 4x + 6 \right) = \left( \sqrt{2} + \sqrt{50} \right) ^{2}}\)
\(\displaystyle{ 4x ^{2} - 16x + 24 = 2 + 10 + 50}\)
\(\displaystyle{ 4x ^{2} - 16x + 24 = 62}\)
\(\displaystyle{ 4x ^{2} - 16x - 38 = 0}\)
\(\displaystyle{ \Delta = 256 + 608 = 864 = 6 \sqrt{24}}\)
\(\displaystyle{ x _{1} = \frac{16 - 6 \sqrt{24} }{8}}\)
\(\displaystyle{ x _{2} = \frac{16 + 6 \sqrt{24} }{8}}\)
\(\displaystyle{ x_{1} \sim -1,67 \in D}\)
\(\displaystyle{ x_{2} \sim 5,67 \in D}\)
Wyniki wychodzą bardzo zbliżone do tych z odpowiedzi, ale jednak nie takie same Gdzieś musiałem zrobić błąd, ale nie wiem gdzie. Poprawne odpowiedzi to:
\(\displaystyle{ x_{1} = -2}\)
\(\displaystyle{ x_{1} = 6}\)
\(\displaystyle{ x^{2} - 4x - 6 = \sqrt{ 2x^{2} - 8x +12 }}\)
\(\displaystyle{ D_{1} = 2x^{2} -8x + 12 \ge 0}\)
\(\displaystyle{ \Delta = 64 - 96 < 0}\)
\(\displaystyle{ x \in R}\)
\(\displaystyle{ D_{2} = x^{2} - 4x - 6 \ge 0}\)
\(\displaystyle{ \Delta = 16 + 24 = 40}\)
\(\displaystyle{ x_{1} = \frac{4 - \sqrt{40} }{2} = \frac{4 - 2\sqrt{10} }{2}}\)
\(\displaystyle{ x_{2} = \frac{4 + \sqrt{40} }{2} = \frac{4 + 2\sqrt{10} }{2}}\)
\(\displaystyle{ D_{1} \cap D_{2} = x \in \left( -\infty ; 2 - \sqrt{10} \right) \cup \left(2 + \sqrt{10} ; \infty \right)}\)
\(\displaystyle{ x^{2} - 4x - 6 = \sqrt{2x ^{2} - 8x +12 }}\)
\(\displaystyle{ \sqrt{x ^{2} - 4x + 6} = t}\)
\(\displaystyle{ D = t \ge 0}\)
\(\displaystyle{ t^{2} - 12 = \sqrt{2t ^{2} }}\)
\(\displaystyle{ t^{2} - 12 = t \sqrt{2}}\)
\(\displaystyle{ t ^{2} - \sqrt{2}t - 12 = 0}\)
\(\displaystyle{ \Delta = 2 + 48 = 50}\)
\(\displaystyle{ t _{1} = \frac{ \sqrt{2} - \sqrt{50} }{2} < 0 \not\in D}\)
\(\displaystyle{ t _{2} = \frac{ \sqrt{2} + \sqrt{50} }{2} \in D}\)
\(\displaystyle{ \sqrt{x ^{2} - 4x + 6 } = \frac{ \sqrt{2} + \sqrt{50}}{2}}\)
\(\displaystyle{ 2 \sqrt{x ^{2} - 4x + 6 } = \sqrt{2} + \sqrt{50}}\) do kwadratu obie strony
\(\displaystyle{ 4 \cdot \left( x ^{2} - 4x + 6 \right) = \left( \sqrt{2} + \sqrt{50} \right) ^{2}}\)
\(\displaystyle{ 4x ^{2} - 16x + 24 = 2 + 10 + 50}\)
\(\displaystyle{ 4x ^{2} - 16x + 24 = 62}\)
\(\displaystyle{ 4x ^{2} - 16x - 38 = 0}\)
\(\displaystyle{ \Delta = 256 + 608 = 864 = 6 \sqrt{24}}\)
\(\displaystyle{ x _{1} = \frac{16 - 6 \sqrt{24} }{8}}\)
\(\displaystyle{ x _{2} = \frac{16 + 6 \sqrt{24} }{8}}\)
\(\displaystyle{ x_{1} \sim -1,67 \in D}\)
\(\displaystyle{ x_{2} \sim 5,67 \in D}\)
Wyniki wychodzą bardzo zbliżone do tych z odpowiedzi, ale jednak nie takie same Gdzieś musiałem zrobić błąd, ale nie wiem gdzie. Poprawne odpowiedzi to:
\(\displaystyle{ x_{1} = -2}\)
\(\displaystyle{ x_{1} = 6}\)
SlotaWoj pisze:
- Dziedzina pierwiastka: dobrze.
- Dziedzina rozwiązania: dobrze
- Tu jest błąd:
Powinno być:
- \(\displaystyle{ 4x^2-16x+24=2+\red{10}+50}\)
- \(\displaystyle{ 4x^2-16x+24=2+\green{20}+50=72}\)
-
Elayne
- Użytkownik
- Posty: 923
- Rejestracja: 24 paź 2011, o 01:24
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Polska
- Podziękował: 76 razy
- Pomógł: 278 razy
Problem z równaniem kwadratowym
Prawa strona równania:
\(\displaystyle{ \sqrt{2x^2- 8x +12}=\sqrt{2} \cdot \sqrt{x^2-4x+6}}\)
po podstawieniu mamy: \(\displaystyle{ \sqrt{2}t}\)
Dlatego równanie ma postać:
\(\displaystyle{ t^2-12=\sqrt{2}t\\
t^2 - \sqrt{2}t -12=0\\
\Delta=(- \sqrt{2})^2-4 \cdot 1 \cdot (-12)=50\\
t_{1}=\frac{\sqrt{2} - \sqrt{50}}{2}=-2 \sqrt{2}\\
t_{2}=\frac{\sqrt{2} + \sqrt{50}}{2}=3\sqrt{2}\\
\\
t=3\sqrt{2}}\)
I sposób
\(\displaystyle{ x^2-4x-6=\sqrt{2} \cdot 3\sqrt{2}\\
x^2-4x-6=6\\
x^2-4x-12=0\\
\Delta=(-4)^2 -4 \cdot 1 \cdot (-12)=64\\
x_{1}=\frac{4-\sqrt{64}}{2}=-2\\
x_{2}=\frac{4+\sqrt{64}}{2}=6}\)
-- 9 lip 2015, o 05:15 --
II sposób
\(\displaystyle{ (3\sqrt{2})^2-12=\sqrt{2x^2- 8x +12}\\
6=\sqrt{2x^2- 8x +12}\\
36=2x^2- 8x +12\\
-2x^2+8x+24=0\\
-x^2+4x+12=0\\
\Delta=4^2-4 \cdot (-1) \cdot 12=64\\
x_{1}=\frac{-4- \sqrt{64}}{-2}=6\\
x_{2}=\frac{-4+ \sqrt{64}}{-2}=-2}\)
\(\displaystyle{ \sqrt{2x^2- 8x +12}=\sqrt{2} \cdot \sqrt{x^2-4x+6}}\)
po podstawieniu mamy: \(\displaystyle{ \sqrt{2}t}\)
Dlatego równanie ma postać:
\(\displaystyle{ t^2-12=\sqrt{2}t\\
t^2 - \sqrt{2}t -12=0\\
\Delta=(- \sqrt{2})^2-4 \cdot 1 \cdot (-12)=50\\
t_{1}=\frac{\sqrt{2} - \sqrt{50}}{2}=-2 \sqrt{2}\\
t_{2}=\frac{\sqrt{2} + \sqrt{50}}{2}=3\sqrt{2}\\
\\
t=3\sqrt{2}}\)
I sposób
\(\displaystyle{ x^2-4x-6=\sqrt{2} \cdot 3\sqrt{2}\\
x^2-4x-6=6\\
x^2-4x-12=0\\
\Delta=(-4)^2 -4 \cdot 1 \cdot (-12)=64\\
x_{1}=\frac{4-\sqrt{64}}{2}=-2\\
x_{2}=\frac{4+\sqrt{64}}{2}=6}\)
-- 9 lip 2015, o 05:15 --
II sposób
\(\displaystyle{ (3\sqrt{2})^2-12=\sqrt{2x^2- 8x +12}\\
6=\sqrt{2x^2- 8x +12}\\
36=2x^2- 8x +12\\
-2x^2+8x+24=0\\
-x^2+4x+12=0\\
\Delta=4^2-4 \cdot (-1) \cdot 12=64\\
x_{1}=\frac{-4- \sqrt{64}}{-2}=6\\
x_{2}=\frac{-4+ \sqrt{64}}{-2}=-2}\)