Prostokąt i optymalizacja

[szawlo]

Wiedząc, że pole prostokąta wynosi \(\displaystyle{ 6}\) i dla długości boków x, y zachodzi \(\displaystyle{ x \ge 3}\) znaleźć najmniejszy możliwy obwód takiego prostokąta.

Prosze o pomoc.

[macik1423]

Trzeba wyrazić obwód jako funkcję któregoś z boków tego prostokąta
\(\displaystyle{ P=x\cdot y=6}\)
\(\displaystyle{ y=\frac{6}{x}}\)
\(\displaystyle{ O=2x+2y=2x+2\cdot \frac{6}{x}}\)
\(\displaystyle{ O(x)=2x+2\cdot \frac{6}{x}}\)
spróbuj policzyć \(\displaystyle{ x}\) dla którego wartość funkcji \(\displaystyle{ O(x)}\) jest najmniejsza.

[szawlo]

No wlaśnie nie wiem jak to zrobić.

[Guzzi]

Policz pochodną funkcji \(\displaystyle{ O\left( x\right)}\) i przyrównaj ją do zera.

[szawlo]

\(\displaystyle{ O(x)=2x+ \frac{3}{x}}\)

\(\displaystyle{ O'(x)=2- \frac{3}{x^2}}\)

\(\displaystyle{ 2- \frac{3}{x^2}=0}\)

\(\displaystyle{ 2x^2 -3=0}\)

\(\displaystyle{ x^2= \frac{3}{2}}\)

\(\displaystyle{ x= \sqrt{ \frac{3}{2} } \vee x= -\sqrt{ \frac{3}{2}}}\)

Niezgodne z \(\displaystyle{ x \ge 3}\)

[bosa_Nike]

Ponieważ \(\displaystyle{ 2(x+y)=2\sqrt{4xy+(x-y)^2}}\), to znaczy, że potrzebujemy maksymalnie zbliżyć do siebie wartości iksów i igreków. Mamy \(\displaystyle{ 6=xy\ge 3y\implies 2\ge y\implies -2\le -y}\). Dasz radę dalej?

[piasek101]

Do autora wątku - obwód był inny - patrz jeden z poprzednich postów.

[szawlo]

Nie wiem naprawde, zgubilem się. Może ktoś napisać pełne rozwiązanie?

[piasek101]

\(\displaystyle{ O(x)=2x+2\cdot \frac{6}{x}}\)

Z tego pochodna to ...

[szawlo]

\(\displaystyle{ 2- \frac{12}{x^2}}\)

[piasek101]

I przyrównać do zera.

[szawlo]

\(\displaystyle{ x=\sqrt{6} \vee x= -\sqrt{6}}\)

[SlotaWoj]

\(\displaystyle{ x=-\sqrt{6}}\) nie może być, bo \(\displaystyle{ x}\) jest długością boku.

\(\displaystyle{ x=\sqrt{6}\approx2,45}\) nie spełnia warunku \(\displaystyle{ x\ge3}\).

Narysuj wykres \(\displaystyle{ O(x)}\), zaznacz na nim obliczone minimum oraz ww. warunek i wszystko będzie jasne.

[kropka+]

Sprawdzam ile wynosi obwód dla \(\displaystyle{ x=3 \Rightarrow y=2}\)
\(\displaystyle{ O=2 \cdot 3+2 \cdot 2=10}\)
Sprawdzam, czy obwód może być mniejszy od \(\displaystyle{ 10}\) dla \(\displaystyle{ x>3}\)
\(\displaystyle{ 0=2x+ \frac{12}{x<10}\\
2x ^{2}-10x+12<0\\
\Delta=100-4 \cdot 2 \cdot 12=4 \Rightarrow \sqrt{\Delta}=2\\
x _{1}= \frac{10-2}{4}=2 \ \ \ \ x _{2}= \frac{10+2}{4}=3 \\
x \in (2,3)}\)

Z tego wynika, że najmniejszy obwód dla \(\displaystyle{ x \ge 3}\) wynosi \(\displaystyle{ 10}\)

Edit.
Wyjściowa nierówność to oczywiście \(\displaystyle{ O=2x+ \frac{12}{x}<10}\) a nie ten bełkot, który wpisałam wyżej (błąd w edycji). Dalej już jest dobrze.

[SlotaWoj]

A co to za radosną twórczość tu Kropeczka+ uprawia? Od kiedy to jest poprawne takie wyrażenie: \(\displaystyle{ \frac{12}{x<10}}\) ? Po za tym ma być \(\displaystyle{ O(x)<10}\), a nie \(\displaystyle{ x<10}\) .

Przecież można „po bożemu”, czyli tak:

• \(\displaystyle{ 2x+\frac{12}{x}<10}\)

Dalej jest dobrze.