Funkcja odwrotna do funkcji trzech zmiennych

[Aragenix]

Mam zadanie: Czy istnieje funkcja odwrotna do funkcji \(\displaystyle{ f:R^3 \rightarrow R^3}\)
\(\displaystyle{ f(x,y,z)=(x^2+2y-1,3-x,y^2-z+5)}\)?
Jeśli nie, to dlaczego, Jeśli tak, znaleźć ją.

Poproszę chociaż o jakąś wskazówkę jak się za to zabrać.

[bartek118]

Z definicji, rozwiązując odpowiedni układ równań.

[Aragenix]

Czy mógłbyś podać jak taki układ będzie wyglądał? Albo chociaż pokazał na przykładzie funkcji dwóch zmiennych jak to zrobić?

[bartek118]

\(\displaystyle{ a = x^2 + 2y - 1, b = 3 - x, c = y^2 - z + 5}\)
- rozwiązujesz względem \(\displaystyle{ x,y,z}\)

[Aragenix]

Wyszło mi
\(\displaystyle{ x=3-b}\),
\(\displaystyle{ y= \frac{1}{2}a- \frac{1}{2}b^2+3b-4}\),
\(\displaystyle{ z= \frac{1}{4}a^2+8b^2-18b- \frac{1}{4}a^2+a- \frac{1}{2}ab^2+13-c}\)

Odpowiedź można zapisać jako
\(\displaystyle{ f(x,y,z)^{-1}=f(a,b,c)=(3-b, \frac{1}{2}a- \frac{1}{2}b^2+3b-4, \frac{1}{4}a^2+8b^2-\\\\18b- \frac{1}{4}a^2+a- \frac{1}{2}ab^2+13-c)}\)
?

Funkcja odwrotna nie istniała by gdyby w układzie wyszło coś typu \(\displaystyle{ 0=3}\) itp.?

[gryxon]

Wyszło mi
\(\displaystyle{ x=3-b}\),
\(\displaystyle{ y= \frac{1}{2}a- \frac{1}{2}b^2+3b-4}\),
\(\displaystyle{ z= \frac{1}{4}a^2+8b^2-18b- \frac{1}{4}a^2+a- \frac{1}{2}ab^2+13-c}\)

Odpowiedź można zapisać jako
\(\displaystyle{ f(x,y,z)^{-1}=f(a,b,c)=(3-b, \frac{1}{2}a- \frac{1}{2}b^2+3b-4, \frac{1}{4}a^2+8b^2-\\\\18b- \frac{1}{4}a^2+a- \frac{1}{2}ab^2+13-c)}\)
?

Funkcja odwrotna nie istniała by gdyby w układzie wyszło coś typu \(\displaystyle{ 0=3}\) itp.?

Nie byłaby gdyby nie była bijekcją. Czyli jeszcze np. jakby Ci wyszły dwa rozwiązania.

[Aragenix]

Dziękuję wszystkim za szybką pomoc

[Medea 2]

Dodam tylko, że bardzo podobny temat już się u nas pojawił, a ja sama podałam rozwiązanie: https://www.matematyka.pl/391272.htm#p5356681.