Rozwiń funkcję w szereg Maclaurina...

bamsye123 · Post autor: **bamsye123** » 27 cze 2015, o 12:37

Muszę rozwinąć funkcję \(\displaystyle{ f(x)= \frac{8x}{4+x^2}}\) w szereg Maclaurina a następnie znaleźć wartość \(\displaystyle{ f^{(20)}(0)}\) . Muszę skorzystać ze wzoru \(\displaystyle{ \sum_{n=0}^{ \infty }q^n= \frac{1}{1-q}}\).

Zacząłem to tak :

\(\displaystyle{ \frac{8x}{4+x^2}=8x \cdot \frac{1}{4+x^2} =8x \cdot \frac{1}{4} \cdot \frac{1}{1+ \frac{x^2}{4} }=2x \cdot \sum_{n=0}^{ \infty } \left( - \frac{x^2}{4} \right) ^{n}=2 \cdot \sum_{n=0}^{ \infty } \left( - \frac{1}{4} \right) ^n x^{2n+1}}\)

I tutaj się zaciąłem.

Proszę o pomoc.

musialmi · Post autor: **musialmi** » 27 cze 2015, o 13:09

Bardzo udane to rozpoczęcie. Teraz musisz skorzystać z twierdzenia, które mówi, że rozwinięcie funkcji w szereg jest jednoznaczne, tzn. jak każdy wyraz w szeregu Maclaurina to \(\displaystyle{ \frac{f^{(n)}(x_0)}{n!}(x-x_0)^n}\), no to tutaj musisz odpowiednio dopasować \(\displaystyle{ n}\), żeby mieć taki wyraz w tym twoim szeregu, żeby porównać go z \(\displaystyle{ \frac{f^{(20)}(0)}{20!}(x-0)^{20}}\)

bamsye123 · Post autor: **bamsye123** » 27 cze 2015, o 13:20

Niestety nie wiem jak mam zmienić ten mój wyraz w moim szeregu. Rozumiem, że musi być tak abym miał tylko jedną potęgę n w tym moim wyrażeniu a potem rozwiązuję zwykłe równanie?

Spróbowałem rozwiązać to tak lecz nie jestem przekonany co do poprawności :

\(\displaystyle{ x^{20} = x^{2n+1}}\)

\(\displaystyle{ n=9,5}\)

\(\displaystyle{ \frac{f^{20}(0) }{20!}= \left( - \frac{1}{4} \right)^{n}}\)
\(\displaystyle{ f^{20}(0)= \left( - \frac{1}{4} \right)^{9,5} \cdot 20!}\)

musialmi · Post autor: **musialmi** » 27 cze 2015, o 15:01

I to jest właśnie dobra próba, tylko zakończona niepowodzeniem. \(\displaystyle{ n=9.5}\), a w twoim szeregu są tylko naturalne \(\displaystyle{ n}\). Skoro tylko naturalne, to nie ma takiego wyrazu, który wynosiłby \(\displaystyle{ \left( - \frac{1}{4} \right)^{9,5} \cdot 20!}\). Ale szereg jest wyznaczony jednoznacznie, czyli nie istnieje w ogóle \(\displaystyle{ x^{20}}\) (dla żadnego \(\displaystyle{ x}\)), czyli to, co przy nim równa się zero. Czyli \(\displaystyle{ \frac{f^{20}(0) }{20!}= =0}\) i stąd już łatwo otrzymać odpowiedź.

bamsye123 · Post autor: **bamsye123** » 27 cze 2015, o 16:51

Niestety dalej nie rozumiem pewnych rzeczy. Tak myślałem że \(\displaystyle{ n}\) nie może być ułamkiem. Dlaczego nie istnieje \(\displaystyle{ x^{20}}\)? Czy to dlatego że \(\displaystyle{ n=9,5}\)? Zakładam, że stwierdzenie "to przy nim równa się zero " oznacza to, że \(\displaystyle{ \frac{ f^{(20)} }{20!}==0}\) tylko nie wiem dlaczego.Zakładam również, że wynika z tego fakt, że ta pochodna 20 rzędu równa się 0.

musialmi · Post autor: **musialmi** » 27 cze 2015, o 21:16

\(\displaystyle{ \cdot \sum_{n=0}^{ \infty }2 \left( - \frac{1}{4} \right) ^n x^{2n+1}=\sum \frac{f^{(n)}(0) }{n!} x^n}\), szeregi potęgowe są równe wtedy i tylko wtedy, gdy przy tych samych potęgach \(\displaystyle{ x^n}\) stoją te same wyrazy. Co stoi przy \(\displaystyle{ x^{20}}\), jeśli \(\displaystyle{ \frac{f^{20}(0) }{20!} x^{20}=0}\) dla każdego iksa?

bamsye123 · Post autor: **bamsye123** » 27 cze 2015, o 22:00

Stoi \(\displaystyle{ \frac{f^{20}(0) }{20!}}\). To już zrozumiałem. Tylko zastanawiam się nad tym dlaczego nie istnieje \(\displaystyle{ x^{20}}\) dla żadnego iksa. Zakładam, że jest to spowodowane tym, że wyszło \(\displaystyle{ n=9.5}\) ale nie jestem tego pewien.

musialmi · Post autor: **musialmi** » 27 cze 2015, o 22:07

bamsye123 pisze:Stoi \(\displaystyle{ \frac{f^{20}(0) }{20!}}\). To już zrozumiałem.

No ale jeśli wiesz, że "\(\displaystyle{ \frac{f^{20}(0) }{20!} x^{20}=0}\) dla każdego iksa", to możesz podać tego konkretną wartość liczbową!

\(\displaystyle{ x^{20}}\) nie istnieje w szeregu, bo jakby istniało, to \(\displaystyle{ n=9.5}\), ale \(\displaystyle{ n}\) ma należeć do naturalnych, więc coś nie zgadza.

bamsye123 · Post autor: **bamsye123** » 27 cze 2015, o 22:13

No tak. Równanie \(\displaystyle{ \frac{f^{20}(0) }{20!} x^{20}=0}\) będzie spełnione gdy \(\displaystyle{ f^{20}(0) = 0}\). Czy mogę uznać to za ostateczne rozwiązanie ?

musialmi · Post autor: **musialmi** » 27 cze 2015, o 22:16

Czy zagadnienie zostało wyjaśnione? Bo jeśli nie, to zostawiam miejsce dla kogoś innego, by wytłumaczył lepiej

bamsye123 · Post autor: **bamsye123** » 27 cze 2015, o 22:18

Jak najbardziej, przejrzę jeszcze raz cały temat i na pewno wszystko przyswoję. Dziękuję za wyczerpujący wykład