Oblicz masę obszaru...

[bamsye123]

Znaleźć masę obszaru D określonego nierównościami :

\(\displaystyle{ y \le x^{2}+ y^{2} \le x}\) i \(\displaystyle{ y \ge 0}\)

wiedząc że gęstość powierzchniowa w każdym punkcie (x,y) tego obszaru wynosi \(\displaystyle{ p(x,y)= \frac{1}{1- x^{2}- y^{2} }}\)

Wiem że masa danego obszaru to całka podwójna po nim z gęstości powierzchniowej. Niestety mam problem z narysowaniem tego obszaru. Wiem że w tych nierównościach jest wzór na koło lecz nie potrafię tego wszystkiego narysować no bo skąd mam znać promień tego koła ? Proszę o pomoc

[kerajs]

\(\displaystyle{ y \le x^{2}+ y^{2} \\ x^2+y^2-y \ge 0 \\ x^2+(y- \frac{1}{2} )^2-\frac{1}{4} \ge 0 \\
x^2+(y- \frac{1}{2} )^2 \ge \frac{1}{4}}\)

Analogicznie
\(\displaystyle{ x^{2}+ y^{2} \le x \\ .. \\ (x- \frac{1}{2} )^2 +y^2 \le \frac{1}{4}}\)

granice całkowania:
\(\displaystyle{ 0 \le y \le \frac{1}{2} \\ \sqrt{y-y^2} \le x \le \frac{1}{2} + \sqrt{\frac{1}{4}-y^2}}\)

[bamsye123]

Dzięki -- 22 cze 2015, o 10:52 --Niestety pojawił się jeszcze problem z policzeniem całki nieoznaczonej \(\displaystyle{ \int_{}^{} \frac{1}{1-x^2-y^2}dx}\). Z moich obliczeń wychodzi \(\displaystyle{ - \frac{1}{2}ln|1-x^2-y^2|+C}\), lecz wpisując tą całkę w program "Wolfram Alpha" wychodzi zupełnie coś innego. Robiłem tą całkę przez podstawienie \(\displaystyle{ t=1-x^2-y^2}\).