Analiza. Kilka zadan

[Roghalik]

Oblicz granice
\(\displaystyle{ \lim_{ \to \infty }\sqrt{ 4n ^{2} +n+3}-2n}\)

\(\displaystyle{ \lim_{ \to \infty }\sqrt{ 2 ^{n} +1 ^{n} +3 ^{n}}}\)

\(\displaystyle{ \lim_{ \to \infty } \frac{\left( n ^{2}+n+1 \right) ^{3} }{3n ^{6}+n ^{4} -2 }}\)

\(\displaystyle{ \lim_{ \to \infty } \left( \frac{n-3}{n+1} \right) ^{2n+1}}\)

Wyznacz dziedzinę

F(x)= \(\displaystyle{ \sqrt{x ^{2}-3x+2 }*arcsin\left( x ^{2}+1 \right)}\)

Znajdź funcke odwrotną do zadanej

y= \(\displaystyle{ \frac{x+2}{x+3}}\)

y=\(\displaystyle{ c ^{2sinx}}\)

Bardzo bym prosił o pomoc

[NogaWeza]

1) Przemnóż przez sprzężenie, tj. licznik i mianownik przez \(\displaystyle{ \sqrt{ 4n ^{2} +n+3}+2n}\), wtedy w liczniku ładnie się poskraca ze wzoru skróconego mnożenia, a z mianownika trzeba będzie \(\displaystyle{ n}\) i po sprawie.
2) Tu odpowiedź jest oczywista, \(\displaystyle{ + \infty}\). No chyba, że źle przepisałeś i pierwiastek miał być \(\displaystyle{ n}\)-tego stopnia, wtedy z twierdzenia o trzech ciągach, szacując z dołu przez \(\displaystyle{ \sqrt[n]{3^n}}\) a z góry przez \(\displaystyle{ \sqrt[n]{3^n + 3^n + 3^n}}\)
3) Tu licznik po prostu podnieść do trzeciej i wyłączyć zarówno z licznika jak i z mianownika \(\displaystyle{ n^6}\)
4) \(\displaystyle{ \frac{n-3}{n+1} = \frac{n+1-4}{n+1} = \frac{n+1}{n+1} - \frac{4}{n+1} = 1 - \frac{4}{n+1}}\) no a potem trzeba pokombinować, żeby wyjść na granicę z liczbą \(\displaystyle{ e}\)

Co do zadania z dziedziną:
-wyrażenie pod pierwiastkiem musi być \(\displaystyle{ \ge 0}\) pisząc skrótowo
-argument arcusa sinusa musi być z przedziału \(\displaystyle{ [-1,1]}\)

[szachimat]

Przy znajdowaniu funkcji odwrotnej napisz y zamiast x oraz x zamiast y. Wtedy należy z tego przekształconego zapisu wyznaczyć y i będzie to funkcja odwrotna.

[Roghalik]

1) Wyszło \(\displaystyle{ \frac{3n}{ \sqrt{4n ^{2}+n+3} +2n }}\) i co teraz z tym?

[Medea 2]

Skróć licznik i mianownik przez \(\displaystyle{ n}\), żeby dostać oczywistą w wyznaczeniu granicę...

[loitzl9006]

\(\displaystyle{ \sqrt{4n^2+n+3}=\sqrt{n^2\left( 4+\frac1n+\frac3{n^2}\right) }=n\cdot\sqrt{4+\frac1n+\frac3{n^2}}}\) i teraz możesz już spokojnie skrócić przez \(\displaystyle{ n}\)

*
W liczniku zostanie \(\displaystyle{ n+3}\) a nie \(\displaystyle{ 3n}\)