Zbieżność szeregu

[realityoppa]

Sprawdź czy szereg jest zbieżny:
\(\displaystyle{ \sum_{n=1}^{ \infty } \frac{n^3 \cdot ( \sqrt{2}+ (-1)^{n} ) }{ 3^{n} }}\)

Próbowałem z kryterium Cauchy' ego ale mi nie wyszło

[Peter Zof]

Szereg jest zbieżny, zastosuj kryterium d'Alemberta (tu zauważ że wszystkie wyrazy szeregu są dodatnie i możesz skorzystać z uproszczonej wersji nie wymagającej operowania na granicy górnej).

[Premislav]

Można tez użyć kryterium porównawczego, ograniczając z góry przez wyrazy szeregu, który jest zbieżny na mocy kryterium Cauchy'ego:
\(\displaystyle{ 0 \le \frac{n^3 \cdot ( \sqrt{2}+ (-1)^{n} ) }{ 3^{n} } \le \frac{2n^{3}}{3^{n}}}\)
a ponieważ \(\displaystyle{ \sum_{}^{} \frac{2n^{3}}{3^{n}}}\) jest zbieżny (wystarczy wiedzieć, że \(\displaystyle{ \sqrt[n]{n} \rightarrow 1}\), gdy \(\displaystyle{ n \rightarrow \infty}\) ), to i wyjściowy szereg jest zbieżny.

[realityoppa]

Dzięki

@Peter Zof, próbowałem również z kryterium d'Alemberta i zostaje:
\(\displaystyle{ \lim_{n \to \infty } \frac{ (n+1)^{3} \cdot ( \sqrt{2} \cdot (-1)^{n+1} ) }{ n^{3} \cdot 3 }}\)

Więc to -1 wszystko psuje. Chyba że coś źle rozumuje ?

Edit: Źle przepisałem, nvm.