suma współczynników dwumianu Newtona - dowód indukcyjny

[arekklimkiewicz]

Mam kłopot z dowiedzeniem poprzez indukcję następującej zależności:
\(\displaystyle{ \sum_{k = 0}^{n} {n \choose k} = 2^{n}}\)

Interesowałby mnie JEDYNIE dowód indukcyjny. Inne dowody już znam.

Z góry serdeczne dzięki

[BettyBoo]

Skorzystaj z tego, że

\(\displaystyle{ {n+1\choose k}={n \choose k}+{n\choose k-1}}\)

Pozdrawiam.

[arekklimkiewicz]

Ten wzór jest oczywisty. Jakbym go nie znał nawet bym nie prosił o pomoc - ten wzór to podstawa.

Dochodzę do momentu (nie wiem czy w dobrą idę stronę), że:

\(\displaystyle{ 2^{n} \cdot 2 = 2 \left[{n \choose 0} + {n \choose 1} + ... + {n \choose n} \right] = \left[ 2 {n+1 \choose 1} + {n+1 \choose 3} + ... + {n+1 \choose n} \right]}\)

[BettyBoo]

Nie w tą stronę. Rozpisz z tego wzoru to, co masz obliczyć, czyli

\(\displaystyle{ \sum_{k = 0}^{n+1} {n+1 \choose k}}\)

Pozdrawiam.

[arekklimkiewicz]

\(\displaystyle{ \sum_{k=0}^{n+1} {n \choose k} + {n \choose k-1}}\)

Jak obliczyć \(\displaystyle{ {n \choose k-1}}\) skoro początkowo \(\displaystyle{ k = 0}\) ?

[Dumel]

ten wzór jest prawdziwy dla dowolnego całkowitego k, przy czym dla k<0 wartość (uogólnionego) dwumianu jest =0

[BettyBoo]

Najlepiej rozpisać

\(\displaystyle{ \sum_{k = 0}^{n+1} {n+1 \choose k}=1+\sum_{k = 1}^{n+1} {n+1 \choose k}}\)

i nie ma problemu z ujemnymi współczynnikami.

Pozdrawiam.

[111sadysta]

Skorzystaj z tego, że

\(\displaystyle{ {n+1\choose k}={n \choose k}+{n\choose k-1}}\)

Pozdrawiam.

jak to udowodnić?

[Zahion]

Z definicji dwumianu. Rozpisz prawa strone.

[111sadysta]

i to potraktować jako dowód?

[Zahion]

Napisz jak to zapisales, a zaraz ktos potwierdzi.