Ideały i filtry

[szymondk60]

Witam.
Czy mógłby mi ktoś wytłumaczyć i pomóc zrozumieć ideały i filtry głowie się nad tym już chyba od godziny i nie umiem tego zrozumieć próbuje to jakoś wyobrazić sobie kołami Eulera ale chyba nie tędy droga .

[ZF+GCH]

Najprościej to się mówi, że ideał to rodzina zbiorów małych, a filtr rodzina zbiorów dużych. W jakim sensie? No w takim, jak podaje definicja Ma ona oczywiście realizować pewne intuicje, czy potrzeby ku jakim jest skierowana. Np. naturalnym przykładem jest rodzina skończonych podzbiorów zbioru liczb naturalnych. Jest ona ideałem. Rodzina jej dopełnień jest filtrem. (Ta własność zachodzi dla dowolnego filtru i ideału, czyli mamy wzajemną odpowiedniość pomiędzy rodziną \(\displaystyle{ \mathcal{I}}\) ideałów na zbiorze \(\displaystyle{ X}\), a rodziną \(\displaystyle{ \mathcal{F}}\) filtrów na \(\displaystyle{ X}\).) Możesz np. zastanowić się nad istnieniem ideałów i filtrów na zbiorach skończonych. Nie wiem na ile jesteś zaznajomiony z innymi działami matematyki, ale np. rodzina zbiorów miary zero w dowolnej zupełnej mierze niezerowej jest ideałem. Np. rodzina podzbiorów prostej zawartych w ustalonym przedziale jest ideałem.

[szymondk60]

Wielkie dzięki już rozumiem