Ekstrema lokalne funkcji wielu zmiennych

[Kratos]

Mam taki problem z zadaniem wymagającym wyznaczenia ekstremów lokalnych funkcji. Otóż mam funkcję \(\displaystyle{ f(x,y) = 2x^4+y^4-x^2-2y^2}\). I policzyłem pochodne cząstkowe, które wynoszą \(\displaystyle{ 8x^3-2x}\) oraz \(\displaystyle{ 4y^3-4y}\). No i na zajęciach tworzyliśmy układ równań, żeby wyliczyć punkty stacjonarne. Jednak tutaj równania są od siebie niezależne. I stąd moje pytanie, co w takiej sytuacji? Jak wyliczyć punkty stacjonarne/znaleźć ekstrema? Bo niestety na zajęciach nie spotkałem się z taką sytuacją.

Dziękuję za każdą pomoc.

[ZF+GCH]

Ale toż to jeszcze przyjemniejsza sytuacja Układ równań oznacza, że mają jednoczośnie być spełnione oba równania. Niczym to się zatem nie różni od sytuacji z zajęć. Musisz wyznaczyć punkty \(\displaystyle{ (x,y)}\) spełniające \(\displaystyle{ 8x^3-2x=0, 4y^3-4y=0}\).-- 14 cze 2015, o 22:57 --Oczywiście powinieneś był w definicji napisać \(\displaystyle{ f(x,y)}\)

[Kratos]

Racja . Czyli w takim razie punktami stacjonarnymi będzie dowolna para liczb wyznaczonych z równań?

[ZF+GCH]

Zgadza się

Swoją drogą, nasunęło mi się pewne inne rozwiązanie. Mamy \(\displaystyle{ f(x,y)=g(x)+h(y)}\), gdzie \(\displaystyle{ g,h}\) wiadomo jak są u nas określone. Znajdujemy ekstrema lokalne funkcji \(\displaystyle{ g}\) i \(\displaystyle{ h}\), parujemy odpowiednie współrzędne i mamy ekstrema funkcji \(\displaystyle{ f}\). Chyba działa w ogólności.-- 14 cze 2015, o 23:15 --Chociaż, jak się zastanowić, to trzeba brać pary punktów \(\displaystyle{ (x,y)}\), gdzie obie współrzędne są ekstremami niekoniecznie właściwymi funkcji \(\displaystyle{ g,h}\) odpowiednio, ale choć jedna z tych współrzędnych jest ekstremum w sensie ścisłym.

Ale spoko, rozwiązuj normalnie, ja sobie dywaguję luźno