Całka powierzchniowa z czaszy kuli

[Sarken]

Zadanie z Krysickiego AM2 - 6.75

Obliczyć moment bezwładności względem osi OZ jednorodnej powierzchni kuli x^2+y^2+z^2=a^2 zawartej między płaszczyznami z=h, z=a 0<h<a.

\(\displaystyle{ \iint_{S}(x^2+y^2)dS}\) (jednorodna, więc gęstość 1)

Przechodzę na wsp. walcowe:

\(\displaystyle{ x=rcost

y=rsint

z= \sqrt{a^2-r^2}


0\le t \le 2 \pi

0\le r \le ???}\)

Wiem jak wyznaczyć dS, ale nie jestem pewny górnego przedziału r. Wiadomo, że:

\(\displaystyle{ h \le z \le a}\)

i moim zdaniem górna granica \(\displaystyle{ r}\) to \(\displaystyle{ \sqrt{a^2-z^2}}\), ale to jest całka niezorientowana i przechodzimy na podwójna, a idąc takim tokiem rozumowania mam 3 parametry. Dlatego myślę, że robię tu błąd i nie wiem jak wyznaczyć górną granicę \(\displaystyle{ r}\).

Z góry dziękuję za pomoc.

[SlotaWoj]

Nie robisz błędu. Nie uwzględniłeś tylko, że \(\displaystyle{ r_{max}=\sqrt{a^2-h^2}}\) .

[Sarken]

Tylko skąd wiadomo, że akurat za z mam podstawić h. Wiem, że z=h to jedna z płaszczyzn ograniczających, ale dalej logicznie tego nie rozumiem.

[SlotaWoj]

Zrób rysunek.
\(\displaystyle{ r_{max}}\) jest promieniem okręgu, który jest przekrojem czaszy przez płaszczyznę \(\displaystyle{ z=h}\) .

[Sarken]

Ok. Chyba już rozumiem. Dzięki wielkie.