Wyznacz najmniejszą i największą wartość funkcji dwóch zmien

esmeraldita3 · Post autor: **esmeraldita3** » 14 cze 2015, o 22:57

Witam, bardzo proszę o pomoc w rozwiązaniu poniższego zadania:

Wyznaczyc najwieksza i najmniejsza wartosc funkcji
\(\displaystyle{ f( x_{1}, x_{2}) = ( x_{1} - 1) ^{2} + x_{2}^{2}}\)
na zbiorze: \(\displaystyle{ A = \{ (x_{1}, x_{2}) \in R ^{2} : x _{1}^{2} + x _{2}^{2} \le 9\}}\)

Z góry dziękuję!

ZF+GCH · Post autor: **ZF+GCH** » 14 cze 2015, o 23:03

Policz pochodne cząstkowe pierwszego rzędu i przyrównaj do \(\displaystyle{ 0}\). Potem sprawdź dodatniość wyznacznika Hessego. Te punkty, które to spełnią to ekstrema lokalne. Ponadto, trzeba sprawdzić brzeg zbioru \(\displaystyle{ A}\), tj. okrąg. Możesz zatem wyznaczyć jedną współrzędną w zależności od drugiej. W tym przypadku badasz już ekstrema funkcji jednej zmiennej. Następnie porównujesz wartości we wszystkich uzyskanych punktów.

Post autor: **Jan Kraszewski** » 14 cze 2015, o 23:09

esmeraldita3 pisze:na zbiorze: \(\displaystyle{ A = \{ (x_{1}, x_{2}) \in \red ???\black x _{1}^{2} + x _{2}^{2} \le 9\}}\)

Coś Ci tu zjadło, prawdopodobnie \(\displaystyle{ \RR^2}\).

JK

esmeraldita3 · Post autor: **esmeraldita3** » 14 cze 2015, o 23:10

"Ponadto, trzeba sprawdzić brzeg zbioru A, tj. okrąg. Możesz zatem wyznaczyć jedną współrzędną w zależności od drugiej. W tym przypadku badasz już ekstrema funkcji jednej zmiennej. Następnie porównujesz wartości we wszystkich uzyskanych punktów."

Niestety z tej części wypowiedzi już nic nie rozumiem...

Jeśli znajdzie się ktoś, kto byłby w stanie zapisać rozwiązanie, to proszę o wsparcie.

Pozdrawiam

ZF+GCH · Post autor: **ZF+GCH** » 14 cze 2015, o 23:15

Jeśli robiłaś cokolwiek z tej tematyki to sformułowania matematyczne odnoszące się do tego powinnaś rozumieć nie gorzej niż ciąg znaczków.

Zrób w takim razie tę część, którą zrozumiałaś. Zacznij od wyzerowania pochodnych cząstkowych. (W zasadzie minimum tej funkcji to widać od ręki, ale zróbmy to "po Bożemu").

esmeraldita3 · Post autor: **esmeraldita3** » 14 cze 2015, o 23:19

dziękuję za "pomoc"

Post autor: **AiDi** » 14 cze 2015, o 23:21

Nie oczekuj, że ktoś Ci pomoże jeśli sama nie chcesz włożyć w rozwiązanie trochę wysiłku. Nie na tym polega proces nauki, że ktoś Ci zrobi gotowca.

ZF+GCH · Post autor: **ZF+GCH** » 14 cze 2015, o 23:22

Proponuję Ci pomoc w postaci konsultacji zadania. Napisałem Ci pierwsze kroki, które musisz zrobić. Jeśli nie chcesz współpracować, tylko otrzymać gotowca, to trudno.

esmeraldita3 · Post autor: **esmeraldita3** » 14 cze 2015, o 23:23

Umiem zrobić pierwszą część zadania, jednakże mam problem z tą drugą.
Niestety nie rozumiem, tej "instrukcji" pospiesznie napisanej dla części drugiej.
Jeśli ktoś umie rozwiązać od deski do deski takie zadanie, to oczywiście na szybko opisane kolejne kroki są zapewne zrozumiałe. Jako, że niestety wcześniej nie zetknęłam się z takim zadaniem, chciałabym na tym przykładzie zrozumieć po kolei jak działać

ZF+GCH · Post autor: **ZF+GCH** » 14 cze 2015, o 23:33

Czyli rozumiem, że znalazłaś ekstrema lokalne?
No to teraz badasz punkty brzegu dziedziny. Tak jak w przypadku funkcji jednej zmiennej szukałaś ekstremum na przedziale domkniętym najpierw znajdywałaś ekstrema lokalne, a potem sprawdzałaś wartości na krańcach przedziału, tak przy funkcji dwóch zmiennych określonych na kole domkniętym, najpierw szukasz ekstr. lok., potem szukasz ekstremum na okręgu. Bierzemy \(\displaystyle{ (x_1,x_2)}\) spełniające \(\displaystyle{ x _{1}^{2} + x _{2}^{2} = 9}\). Wtedy \(\displaystyle{ f(x_1,x_2)=x_{1}^{2}-2x_1+1+x_{2}^{2}=-2x_1+10}\). Teraz trzeba wyznaczyć zatem ekstrema funkcji \(\displaystyle{ g(x_1)=-2x_1+10}\) na przedziale \(\displaystyle{ [-3,3]}\) (dlatego, bo dla każdego (i tylko dla takiego) \(\displaystyle{ x_1 \in [-3,3]}\) istnieje \(\displaystyle{ x_2}\) spełniający równanie okręgu). To jest już łatwe. Dostajesz wtedy \(\displaystyle{ x_1^*,x_1^{**}}\), w których jest minimum i maksimum funkcji \(\displaystyle{ g}\) i wyzyskujesz z równania okręgu wartość drugiej współrzędnej.

esmeraldita3 · Post autor: **esmeraldita3** » 15 cze 2015, o 00:41

Dziękuję!

-- 15 cze 2015, o 19:50 --

Mam jeszcze pytanie - czy to zadanie można rozwiązać po prostu stosując mnożniki Lagrange'a?

-- 16 cze 2015, o 01:38 --

ktoś, coś?