Ograniczenie całki przez stałą z parametrem

[grandmarc]

Funkcja \(\displaystyle{ f:[0,2\pi] \rightarrow \RR}\) spełnia warunek Lipschitza, pokazać, że
\(\displaystyle{ \int_{0}^{2\pi}f(x)sin(kx)dx \le \frac{A}{k}}\) dla wszystkich naturalnych k i pewnej stałej A.

\(\displaystyle{ f}\) jest ograniczona więc z twierdzenia o wartości średniej dla całki:
\(\displaystyle{ \int_{0}^{2\pi}f(x)sin(kx)dx =f(c_k)\int_{0}^{2\pi}sin(kx)dx \le M\int_{0}^{2\pi}sin(kx)dx}\)
Ale całka z tego sinusa zawiera taką samą lub różniącą się o jeden liczbę ,,garbów"
więc jej całkę można oszacować przez pole prostokąta, w które taki jeden garb jest wpisany.
Takie pole ma rozmiar: \(\displaystyle{ \frac{\pi}{k} \cdot 1}\)
więc:
\(\displaystyle{ \int_{0}^{2\pi}f(x)sin(kx)dx =f(c_k)\int_{0}^{2\pi}sin(kx)dx \le M\int_{0}^{2\pi}sin(kx)dx \le \frac{M \pi}{k}}\)
Czy to jest dobre rozwiązanie?Nigdzie nie korzystam z warunku Lipschitza.

[bartek118]

Niepoprawnie skorzystałeś z twierdzenia o wartości średniej

[grandmarc]

Racja, zapomniałem o tym, że druga funkcja musi zachowywać znak.Jak inaczej to zrobić?

[ZF+GCH]

\(\displaystyle{ \int_{0}^{2\pi}f(x)sin(kx)dx \leq |\int_{0}^{2\pi}f(x)sin(kx)dx| \leq \int_{0}^{2\pi} |f(x)||sin(kx)|dx}\)

\(\displaystyle{ |f|}\) jest lipschitzowska.

[grandmarc]

Szczerze mówiąc nadal nie wiem co z tym zrobić.

[ZF+GCH]

Do skrajnej prawej strony mógłbyś stosować swoje poprzednie rozumowanie (ponieważ \(\displaystyle{ |\sin|}\) zachowuje znak) Jednak znowu nie jest tu istotą lipschitzowskość.

Nie przekonuje mnie to geometryczne szacowanie całki z sinusa.

[grandmarc]

A myślałem, że proponujesz to później robić jakoś inaczej niż moim sposobem, niestety wartość bezwzględna daje już za ostre oszacowanie w tym wypadku.

[ZF+GCH]

Nie daje za ostrego oszacowania. Te nierówności mają pokazywać, że problem zmieniania znaku przez sinus jest łatwy do obejścia. Co nie znaczy, że Twój sposób doprowadzi do rozwiązania, i co nie znaczy, że wiem jak to rozwiązać

[leg14]

Chyba mam:

\(\displaystyle{ \int_{0}^{2\pi}f(x)sin(kx)dx = \int_{0}^{ \frac{\pi}{k} } f(x)sin(kx)dx + \int_{\frac{\pi}{k}}^{ \frac{2\pi}{k} } f(x)sin(kx)dx +...+ \int_{ \frac{(2k -1)\pi}{k} }^{ \frac{2k\pi}{k} } f(x)sin(kx)dx}\)
W kazdej z tych calek \(\displaystyle{ \sin(kx)}\) ma stały znak, więc można zastosować do niej twierdzenie o wartości średniej dla całki, zatem:
\(\displaystyle{ \int_{0}^{2\pi}f(x)sin(kx)dx = \int_{0}^{ \frac{\pi}{k} } f(x)sin(kx)dx + \int_{\frac{\pi}{k}}^{ \frac{2\pi}{k} } f(x)sin(kx)dx +...+ \int_{ \frac{(2k -1)\pi}{k} }^{ \frac{2k\pi}{k} } f(x)sin(kx)dx=
f(a_1)\int_{0}^{ \frac{\pi}{k} } sin(kx)dx + f(a_2)\int_{\frac{\pi}{k}}^{ \frac{2\pi}{k} } sin(kx)dx+...+ f(a_{2k})\int_{ \frac{(2k -1)\pi}{k} }^{ \frac{2k\pi}{k} } sin(kx)dx}\)
Kazda z tych całek ma wartosc \(\displaystyle{ \frac{2}{k}}\) ale ich znak zmienia sie naprzemiennie poczynajac od plusa.Zatem:
\(\displaystyle{ f(a_1)\int_{0}^{ \frac{\pi}{k} } sin(kx)dx + f(a_2)\int_{\frac{\pi}{k}}^{ \frac{2\pi}{k} } sin(kx)dx+...+ f(a_{2k})\int_{ \frac{(2k -1)\pi}{k} }^{ \frac{2k\pi}{k} } sin(kx)dx= \frac{2}{k}\left[f(a_1) - f(a_2) + f(a_3) -...-f(a_{2k}) \right] \le \frac{2}{k}|\left[f(a_1) - f(a_2) + f(a_3) -...-f(a_{2k}) \right]|}\)
Teraz K razy uzywajac nierownosci trojkata:
\(\displaystyle{ \frac{2}{k}|\left[f(a_1) - f(a_2) + f(a_3) -...-f(a_{2k}) \right]| \le \frac{2}{k}|\left[f(a_1) - f(a_2) + f(a_3) -...-f(a_{2k}) \right]| \le \frac{2}{k} \left[ |f(a_1)-f(a_2)| + |f(a_3)-f(a_4)| + ...+|f(a_{2k-1}) -f(a_{2k})| \right]}\)
Ale dla dowolnego \(\displaystyle{ i}\)
\(\displaystyle{ |f(a_{i}) - f(a_{i+1})| \le M|a_i - a_{i+1}|\le M\frac{4\pi}{k}}\)
Zatem
\(\displaystyle{ \frac{2}{k} \left[ |f(a_1)-f(a_2)| + |f(a_3)-f(a_4)| + ...+|f(a_{2k-1}) -f(a_{2k})| \right] \le
M\frac{2}{k} \left[\frac{4\pi}{k} \cdot k \right]}\) Co daje nam teze.Jednak porsze kogos bardziej doswiadczonego o sprawdzenie tego bo moglem sie gdzies pomylic.