Pierścień, podpierścień, ideał

[Sejuanka]

Powiedzmy że mamy taki pierścień \(\displaystyle{ (A,}\) różnica symetryczna, przekrój\(\displaystyle{ )}\) bez symboli żeby było wiadomo.

Warunki na podpierścień to: \(\displaystyle{ a-b \in P \wedge a \cdot b \in P}\) dla dowolnych \(\displaystyle{ a,b \in P}\) gdzie P to podpierścień. No i tu zaczyna się pytanie, czy ten warunek np. z minusem dotyczy minusa czy chodzi o pierwsze działanie, w tym wypadku różnica symetryczna? To samo z mnożeniem, chodzi o mnożenie czy przekrój? (przekrój to w sumie iloczyn ale pytam w sensie czy jakby tam było jeszcze inne działanie to ten warunek ma byc spełniony według tego działania czy mnożenia). W każdej książce i generalnie wszędzie przykładami są pierścienie z dodawaniem i mnożeniem i zagubiona w tym jestem co jest co. Ideał w nazwie tematu bo tam jest podobnie.

W zadaniu np. takim 'udowodnij że \(\displaystyle{ (P(\mathbb{Z}),}\) różnica symetryczna, przekrój\(\displaystyle{ )}\) jest pierścieniem. Próbowałam to zrobić ale kompletnie się pogubiłam jakie mam warunki sprawdzać.

[ZF+GCH]

Mnożenie odnosi się do półgrupy. Sprawdź zatem, czy przy którymś z tych działań jest półgrupa, a nie ma grupy. Jeśli oba działania są grupowymi sprawdź rozdzielność. Powinna zachodzić rozdzielność mnożenia względem dodawania.