Oblicz całkę

goska06 · Post autor: **goska06** » 18 wrz 2009, o 10:50

zad.1
\(\displaystyle{ \iint_{D}}\) ln(\(\displaystyle{ x^{2}}\)+\(\displaystyle{ y^{2}}\))dxdy, gdzie D={(x,y): 1\(\displaystyle{ \le}\)\(\displaystyle{ x^{2}}\)+\(\displaystyle{ y^{2}}\)\(\displaystyle{ \le}\)4, y\(\displaystyle{ \ge}\)x, x\(\displaystyle{ \ge}\)0}.

zad.2
Używając współrzędnych sferycznych oblicz całkę \(\displaystyle{ \iiint_{V}}\) \(\displaystyle{ \frac{dxdydz}{x^{2}+y^{2}+ z^{2} }}\), gdzie obszar V jest ograniczony powierzchniami z=\(\displaystyle{ \sqrt{3x^{2}+3y^{2}}}\), z=\(\displaystyle{ \sqrt{1-x^{2}-y^{2}}}\), z=\(\displaystyle{ \sqrt{2-x^{2}-y^{2}}}\)

i jakby ktoś mógł mi wytłumaczyć jak rysować te wszytkie powierzchnie, tzn skąd mam wiedzieć ze to jest właśnie taka powierzchnia, i jak zamienić ja na wspłrzedne sferyczne(w tym wypadku) bo z tym mam najwiekszy problem;/

Post autor: **Nakahed90** » 18 wrz 2009, o 10:52

Najpierw popraw zapis, bo jest nieczytelny.

goska06 · Post autor: **goska06** » 18 wrz 2009, o 10:59

poprawiłam;)-- 22 wrz 2009, o 16:41 --?? Prosze o pomoc!;)

goska06 · Post autor: **goska06** » 24 wrz 2009, o 10:58

Oblicz \(\displaystyle{ \iint_{D}}\) ln(\(\displaystyle{ x^{2}}\)+\(\displaystyle{ y^{2}}\))dxdy, gdzie D={(x,y): 1\(\displaystyle{ \le}\)\(\displaystyle{ x^{2}}\)+\(\displaystyle{ y^{2}}\)\(\displaystyle{ \le}\)4, y\(\displaystyle{ \ge}\)x, x\(\displaystyle{ \ge}\)0}.

i jakby ktoś mógł mi wytłumaczyć jak rysować te wszytkie powierzchnie, tzn skąd mam wiedzieć ze to jest właśnie taka powierzchnia, i jak zamienić ja na wspłrzedne sferyczne(w tym wypadku) bo z tym mam najwiekszy problem;/

Z góry dzieki za pomoc;)

Yaco_89 · Post autor: **Yaco_89** » 24 wrz 2009, o 11:12

W tym wypadku nie musisz sferycznych, tylko biegunowe. Żeby znaleźć obszar najpierw rysujesz pierścień \(\displaystyle{ 1 \le x ^{2}+y ^{2} \le 4}\), potem przecinasz go prostymi y=x i x=0, następnie zaznaczasz te punkty, które leżą na okręgu pomiędzy nimi w I ćwiartce układu współrzędnych, to jest Twój obszar całkowania. Teraz przechodzisz na wsp. biegunowe. Granice całkowania można wyznaczyć z odp. nierówności trygonometrycznej, ale można też po prostu mając rysunek zauważyć, że promień wodzący tworzy w obszarze całkowania z osią Ox kąt od \(\displaystyle{ \frac{\pi}{4}}\) do \(\displaystyle{ \frac{\pi}{2}}\), ostatecznie otrzymujemy całkę:
\(\displaystyle{ \int_{ \frac{\pi}{4} }^{ \frac{pi}{2} }d\phi \int_{1}^{2}r\ln( r^{2})dr}\)
wydaje mi się, że łatwą do policzenia.

goska06 · Post autor: **goska06** » 24 wrz 2009, o 11:38

tak, tak teraz rozumiem. Dzieki;)-- 24 wrz 2009, o 18:17 --a to zad.
Używając współrzędnych sferycznych oblicz całkę \(\displaystyle{ \iiint_{V}}\) \(\displaystyle{ \frac{dxdydz}{x^{2}+y^{2}+ z^{2} }}\), gdzie obszar V jest ograniczony powierzchniami z=\(\displaystyle{ \sqrt{3x^{2}+3y^{2}}}\), z=\(\displaystyle{ \sqrt{1-x^{2}-y^{2}}}\), z=\(\displaystyle{ \sqrt{2-x^{2}-y^{2}}}\)

i jakby ktoś mógł mi wytłumaczyć jak rysować te wszytkie powierzchnie, tzn skąd mam wiedzieć ze to jest właśnie taka powierzchnia, i jak zamienić ja na wspłrzedne sferyczne(w tym wypadku) bo z tym mam najwiekszy problem;/
Z góry dzieki;)

Post autor: **Chromosom** » 25 wrz 2009, o 22:55

goska06 pisze:jak zamienić ja na wspłrzedne sferyczne(w tym wypadku) bo z tym mam najwiekszy problem;/

Dlaczego akurat w tym wypadku masz problem? jest to standardowy przykład, w którym trzeba zamienić współrzędne na sferyczne, miałaś już z tym do czynienia, czy pierwszy raz się z tym spotykasz?

goska06 · Post autor: **goska06** » 26 wrz 2009, o 10:21

Chromosom pisze:
goska06 pisze:jak zamienić ja na wspłrzedne sferyczne(w tym wypadku) bo z tym mam najwiekszy problem;/
Dlaczego akurat w tym wypadku masz problem? jest to standardowy przykład, w którym trzeba zamienić współrzędne na sferyczne, miałaś już z tym do czynienia, czy pierwszy raz się z tym spotykasz?

nie tyle mam z tym problem co z rysowaniem powierzchni.. podstawowe wzory na powierzchnie znam, sfera, stożek itp ale jak wzor jest juz jakos przekształcony to poprostu "leze i kwicze" wogole nie mam wyobrazni i ciezko mi te powierzchnie narysowac zwłaszcza jak składa sie z kilku brył...;/ w tym przypaku własnie nie wiem jak narysowac ta powierzchnie.. mam mnostwo takich zadan ktroe chciałabym rozwiazac uczac sie do egzamniu no ale wiadomo na poczatku trzeba narysowac powierzchnie no i jak narazie jest to dla mnie bariera nie do przeskoczenia;/

Post autor: **Szemek** » 26 wrz 2009, o 14:31

Nigdy nie byłem uzdolniony plastycznie, ale szkice różnych powierzchni udaje mi się zrobić
Z własnego doświadczenia z całkami i rysowaniem różnych powierzchni z nimi związanym polecam wspomaganie się odpowiednimi narzędziami.
- tę stronę warto znać i naprawdę wiele można z niej wycisnąć, choć nie wszystkie funkcje są opisane w sekcji
Skorzystaj z [url=http://reference.wolfram.com/mathematica/guide/Mathematica.html]przewodnika po programie Mathematica[/url]
Do rysowania powierzchni najbardziej przydaje się funkcja:
ContourPlot3D[{ R }, {x, xmin, xmax}, {y, ymin, ymax}, {z, zmin, zmax}]
gdzie R to równanie powierzchni lub wiele równań oddzielonych przecinkiem,
np. z==Sqrt[x^2+y^2], x^2+y^2+z^2=4^2
reszta to zakresy poszczególnych współrzędnych
Spróbuj, pobaw się, naprawdę pomaga w rozwiązywaniu zadań z całkami potrójnymi.

goska06 · Post autor: **goska06** » 26 wrz 2009, o 18:17

oo... super dzieki! egzamin we wtorek wiec mam nadzieje ze do tego czasu dojde jakos do ładu z całeczkami;) Pozdrawiam