Pokazać, że funkcja jest ciągła

martina789 · Post autor: **martina789** » 10 cze 2015, o 20:06

Jeżeli \(\displaystyle{ X}\) jest podzbiorem w \(\displaystyle{ R}\) oraz \(\displaystyle{ f : X \rightarrow \RR}\) jest funkcja monotoniczna, przeprowadzająca \(\displaystyle{ X}\) na pewien przedział, to \(\displaystyle{ f}\) jest funkcja ciągła Wykazać istotność założenia, ze \(\displaystyle{ f(X)}\) jest przedziałem.

Błagam, pomocy!

-- 10 cze 2015, o 20:07 --

potrzebuję jutro oddać to zadanie, a w związku z takim, a nie innym prowadzeniem zajęć niestety nie wiem jak mam się za to zabrać

Post autor: **bartek118** » 10 cze 2015, o 20:43

Bez straty ogólności możemy założyć, że jest niemalejąca. I przez sprzeczność - co jeśli nie jest ciągła?
To jest bardzo łatwe zadanie.

ZF+GCH · Post autor: **ZF+GCH** » 10 cze 2015, o 20:51

A kontrprzykład w przypadku porzucenia założenia, że \(\displaystyle{ f(X)}\) jest przedziałem jest na poziomie analizy 1, a nie jakiejś obłej topologii.

martina789 · Post autor: **martina789** » 10 cze 2015, o 21:09

Mogę prosić jeszcze o nakierowanie mnie bardziej ?

Post autor: **bartek118** » 10 cze 2015, o 21:32

martina789 pisze:Mogę prosić jeszcze o nakierowanie mnie bardziej ?

Podąż za moim pytaniem. Co by oznaczało, że \(\displaystyle{ f}\) nie jest ciągła?

martina789 · Post autor: **martina789** » 10 cze 2015, o 21:45

jeśli nie jest funkcją ciągłą, w co najmniej jednym punkcie swojej dziedziny

Post autor: **bartek118** » 10 cze 2015, o 22:40

No tak. Co możemy powiedzieć o tym punkcie?

martina789 · Post autor: **martina789** » 10 cze 2015, o 22:45

Może być nieciągły I i II rodzaju , w zależności czy granica jest skończona czy nie

Post autor: **bartek118** » 11 cze 2015, o 06:29

Czy aby na pewno może jedna z granic jednostronnych być nieskończona? Przyjęliśmy, że funkcja jest nierosnąca, więc....

martina789 · Post autor: **martina789** » 11 cze 2015, o 16:42

czyli po prostu jest równa nieskończoności z plusem lub minusem

Post autor: **bartek118** » 11 cze 2015, o 17:45

Czyli ma skończone granice jednostronne......

martina789 · Post autor: **martina789** » 11 cze 2015, o 17:52

okey, i co dalej ?

Rissiel · Post autor: **Rissiel** » 11 cze 2015, o 20:07

Jeżeli dla jakiegoś \(\displaystyle{ x}\) zachodzą następujące równości \(\displaystyle{ \lim_{x_n\rightarrow x^-}=a}\) i \(\displaystyle{ \lim_{x_n\rightarrow x^+}=b}\), gdzie \(\displaystyle{ a\neq b}\), to po pierwsze co można powiedzieć przy danym założeniu o \(\displaystyle{ a}\) i \(\displaystyle{ b}\) (chodzi o relację porządku między nimi)? A jeśli już się dopatrzysz tej relacji, to co to oznacza dla obrazu \(\displaystyle{ X}\) przy zadanych założeniach?