kontrprzykład odnośnie kuli
kontrprzykład odnośnie kuli
Czy ktoś zna jakiś przykład zbioru który w jakiejś metryce nie jest kulą?
-
a4karo
- Użytkownik
- Posty: 22485
- Rejestracja: 15 maja 2011, o 20:55
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Bydgoszcz
- Podziękował: 44 razy
- Pomógł: 3857 razy
kontrprzykład odnośnie kuli
w metryce euklidesowej jest bardzo mało kul. Każdy zbiór, który nie jest kulą, nie jest kulą.
Chyba że Twoje pytanie znaczy: czy istnieje zbiór przestrzeń \(\displaystyle{ X}\) i niepusty \(\displaystyle{ A\subset X}\) taki, że \(\displaystyle{ A}\) nie jest kulą w żadnej metryce na \(\displaystyle{ X}\). Odpowiedź brzmi: nie. Dla każdego niepustego zbioru istnieje metryka, w której ten zbiór jest kulą o promieniu 1.
Pomyśl o metrykach dyskretnych
Chyba że Twoje pytanie znaczy: czy istnieje zbiór przestrzeń \(\displaystyle{ X}\) i niepusty \(\displaystyle{ A\subset X}\) taki, że \(\displaystyle{ A}\) nie jest kulą w żadnej metryce na \(\displaystyle{ X}\). Odpowiedź brzmi: nie. Dla każdego niepustego zbioru istnieje metryka, w której ten zbiór jest kulą o promieniu 1.
Pomyśl o metrykach dyskretnych
-
Rissiel
- Użytkownik
- Posty: 25
- Rejestracja: 25 maja 2015, o 22:27
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Bydgoszcz
- Pomógł: 9 razy
kontrprzykład odnośnie kuli
Nawiązując do powyższego wpisu i rozważając to zadanie w kategoriach istnienia w dowolnej przestrzeni.
Dla dowolnego zbioru \(\displaystyle{ A\subset X}\) jesteś w stanie określić funkcję \(\displaystyle{ d}\) daną wzorem:
\(\displaystyle{ d(x,y)=\begin{cases}
0 &\mbox{jeśli}\ x=y\\
1 &\mbox{jeśli}\ x\in A\wedge y\in A\\
2 &\mbox{jeśli}\ \sim(x\in A\wedge y\in A)\\
\end{cases}}\)
Wystarczy sprawdzić czy tak określona funkcja jest metryką i zauważyć, że dla dowolnego \(\displaystyle{ x\in A}\) kula(dowolna) o środku w \(\displaystyle{ x}\) i promieniu np. \(\displaystyle{ \frac{3}{2}}\) jest równa zbiorowi \(\displaystyle{ A}\).
Dla dowolnego zbioru \(\displaystyle{ A\subset X}\) jesteś w stanie określić funkcję \(\displaystyle{ d}\) daną wzorem:
\(\displaystyle{ d(x,y)=\begin{cases}
0 &\mbox{jeśli}\ x=y\\
1 &\mbox{jeśli}\ x\in A\wedge y\in A\\
2 &\mbox{jeśli}\ \sim(x\in A\wedge y\in A)\\
\end{cases}}\)
Wystarczy sprawdzić czy tak określona funkcja jest metryką i zauważyć, że dla dowolnego \(\displaystyle{ x\in A}\) kula(dowolna) o środku w \(\displaystyle{ x}\) i promieniu np. \(\displaystyle{ \frac{3}{2}}\) jest równa zbiorowi \(\displaystyle{ A}\).