[Nierówności] 2 nierówności dla dodatnich

[pawelsuz]

1)
\(\displaystyle{ \frac{b+c}{a} + \frac{c+a}{b} + \frac{a+b}{c} \ge 4( \frac{a}{b+c} + \frac{b}{c+a}+ \frac{c}{a+b} )}\)
2)
\(\displaystyle{ \sqrt{x^{2}+1} + \sqrt{y^{2}+1} + \sqrt{z^{2}+1} \ge \sqrt{6(x+y+z)}}\)

[frej]

1) spróbuj zastosować AM-HM
2) \(\displaystyle{ a=b=c=1}\)

[Zordon]

edit: coś nie tak
ale zobacz tu: ... 87_Shapiro

[kumnopek1]

1)
\(\displaystyle{ \frac{b+c}{a} + \frac{c+a}{b} + \frac{a+b}{c} \ge 4( \frac{a}{b+c} + \frac{b}{c+a}+ \frac{c}{a+b} )}\)

jakby ktoś mógł sprawdzić mój dowód...

zakładam, że a,b,c e \(\displaystyle{ R _{+}}\)

po pierwsze:
\(\displaystyle{ (x-y)^2\geqslant 0 \Rightarrow x^2+y^2\geqslant 2xy \Rightarrow {x^2+y^2\over xy}\geqslant 2 \Rightarrow {x\over y} + {y\over x}\geqslant 2 \Rightarrow 2+{x\over y} + {y\over x}\geqslant 4 \Rightarrow {x+y\over x} + {x+y\over y} \geqslant 4\Rightarrow {1\over x} + {1\over y}\geqslant{4\over x+y}}\)

po drugie:
\(\displaystyle{ x = \frac{b}{a}}\)

\(\displaystyle{ y = \frac{c}{a}}\)

\(\displaystyle{ z = \frac{c}{b}}\)

po trzecie zapiszmy sobie
\(\displaystyle{ \frac{b+c}{a} + \frac{c+a}{b} + \frac{a+b}{c} \ge 4( \frac{a}{b+c} + \frac{b}{c+a}+ \frac{c}{a+b} )}\)

w formie zjadliwej:

\(\displaystyle{ x + y + z + \frac{1}{x} + \frac{1}{y} + \frac{1}{z} \ge 4( \frac{1}{x+y} + \frac{1}{y+z}+ \frac{1}{x+z} )}\)

zabieramy się do dowodu właściwego

1) jeżeli \(\displaystyle{ x,y,z \ge 1}\) to
\(\displaystyle{ x + y + z + \frac{1}{x} + \frac{1}{y} + \frac{1}{z} \geqslant \frac{1}{x} + \frac{1}{y} + \frac{1}{z} + \frac{1}{x} + \frac{1}{y} + \frac{1}{z} \geqslant {4\over x+y} + {4\over y+z} + {4\over z+x}}\)

2) jeżeli \(\displaystyle{ x,y,z \le 1}\) to
\(\displaystyle{ x + y + z + \frac{1}{x} + \frac{1}{y} + \frac{1}{z} \geqslant x + y + z + x + y + z \geqslant {4\over {1\over x} + {1\over y}} + {4\over {1\over y} + {1\over z}} + {4\over {1\over z} + {1\over x}} \geqslant
{4\over x+y} + {4\over y+z} + {4\over z+x}}\)

3) jeżeli \(\displaystyle{ x,y \ge 1 ; z \le 1}\) to
\(\displaystyle{ x + y + z + \frac{1}{x} + \frac{1}{y} + \frac{1}{z} \geqslant \frac{1}{x} + \frac{1}{y} + z + \frac{1}{x} + \frac{1}{y} + z \geqslant
{4\over x+y} + {4\over y+{1\over z}} + {4\over {1\over z}+x} \geqslant {4\over x+y} + {4\over y+z} + {4\over z+x}}\)

4) jeżeli \(\displaystyle{ x \ge 1 ; z,y \le 1}\) to
\(\displaystyle{ x + y + z + \frac{1}{x} + \frac{1}{y} + \frac{1}{z} \geqslant \frac{1}{x} + y + z + \frac{1}{x} + y + z \geqslant
{4\over x+{1\over y}} + {4\over {1\over y}+{1\over z}} + {4\over {1\over z}+x} \geqslant {4\over x+y} + {4\over y+z} + {4\over z+x}}\)

co w'obec dowolności x,y,z powinno kończyć dowód

[pawelsuz]

dodatnie? ujemne? rzeczywiste? calkowite? zespolone? powiedz coś o tych liczbach

Masz w temacie:p

1) spróbuj zastosować AM-HM
2) \(\displaystyle{ a=b=c=1}\)

Próbowalem:/

edit: coś nie tak
ale zobacz tu:
Ok, Nesbitte'a znam, ale ta nierówność szacuje z dolu, a tu mamy z góry.

[frej]

1) \(\displaystyle{ \frac{c}{a} + \frac{c}{b} \ge \left( AM-HM \right) \ge \ldots}\)
2) Nie jest to prawdą, np. \(\displaystyle{ x=y=z=1}\)

[pawelsuz]

2) Nie jest to prawdą, np. \(\displaystyle{ x=y=z=1}\)

x=y=z=1
\(\displaystyle{ \sqrt{2}+ \sqrt{2} + \sqrt{2} \ge \sqrt{18} \\ 3 \sqrt{2} \ge 3 \sqrt{2}}\)
Frej?

[frej]

AA, to tam są plusy zamiast iloczynu? Zaraz pomyślę nad rozwiązaniem.

[pawelsuz]

Twój post dopiero mi pokazał, że tam tych plusow nie ma:D Przepraszam za pomyłkę.

[Wasilewski]

Wskazówka: funkcja \(\displaystyle{ f(x) = \sqrt{x^2+1}}\) jest wypukła.

[pawelsuz]

Tu byly głupoty:d Dzięki!

[frej]

Ew. do kwadratu i potem CS

[kumnopek1]

no nie umiem rozwiązać tego drugiego, mógłby ktoś to zrobić porządnie?