Mam lekkie problemy z ogarnięciem całek powierzchniowych zorientowanych. Chciałem sobie przeanalizować pewien przykład by jak najlepiej usystematyzować pewne rzeczy. Chciałbym tu po prostu napisać jaki jest mój tok myślenia i poprosić o ewentualne korekty.
Zadanie brzmi następująco: Obliczyć \(\displaystyle{ \iint_{S}zdydz + \frac{1}{y}dzdx - xdxdy}\) gdzie \(\displaystyle{ S}\) jest powierzchnią stożka \(\displaystyle{ y = \sqrt{x^{2}+z^{2}}}\), \(\displaystyle{ 1 \le y \le 2}\) zorientowaną przeciwnie do zwrotu osi \(\displaystyle{ OY}\).
Coś takiego naskrobałem:
- AU
- 2wq92zb.jpg (15.25 KiB) Przejrzano 44 razy
Wyznaczam wektor normalny:
\(\displaystyle{ \vec{N} = \left[ - \frac{df}{dx}, \ 1, \ - \frac{df}{dz} \right] = \left[ - \frac{x}{ \sqrt{x^{2}+z^{2}} }, \ 1, \ - \frac{z}{ \sqrt{x^{2}+z^{2}} } \right]}\)
Sprawdzam jego orientację:
Biorę sobie punkt z powierzchni \(\displaystyle{ x=1, \ z=1, \ y = \sqrt{2}}\)
Wtedy \(\displaystyle{ \vec{N}=\left[ - \frac{ \sqrt{2} }{2} , \ 1, \ - \frac{ \sqrt{2} }{2}\right]}\)
Czyli (i tego nie jestem pewien, biorę to na chłopski rozum, więc z góry przepraszam za wszelkie straty moralne jakie mogą wyniknąć z przeczytania ewentualnych herezji), wektor jest skierowany do wewnątrz tego stożka, a więc jest zgodny z osią \(\displaystyle{ OY}\) i jednocześnie niezgodny z przyjętą w treści zadania orientacją. Tak więc przed wynikiem całkowania będzie jeszcze stał minus.
Wersora wektora normalnego nie potrzebuję, gdyż \(\displaystyle{ \vec{F} \in C\left( S\right) \Rightarrow \iint_{S} \vec{F}dS = - \iint_{D}\left[ P\left( x,y,z\right)\left( - \frac{df}{dx} \right)+Q\left( x,y,z\right) + R\left( x,y,z\right)\left( - \frac{df}{dz} \right)\right]dxdz}\)
No pozostaje tylko całka do policzenia, ale to już będzie małym piwem jeżeli reszta jest w porządku.
Z góry dziękuję za wszelkie uwagi,
pozdrawiam!