Test chi kwadrat

[Axe]

Student mierząc stężenie chlorku sodu otrzymał wyniki: \(\displaystyle{ 9, 8, 7, 7, 6, 6, 8, 8, 6, 6, 7, 6, 8, 6, 8, 6, 8, 8, 6, 6}\). Przyjmując poziom ufności \(\displaystyle{ 1- \alpha =0,9}\) wyznacz przedziały ufności dla wartości średniej \(\displaystyle{ m}\) oraz wariancji \(\displaystyle{ \sigma^2}\). Przyjmując poziom istotności \(\displaystyle{ \alpha =0,05}\) zweryfikuj hipotezy:

a)\(\displaystyle{ H_0}\)(rozkład stężeń jest jednostajny, zastosuj test\(\displaystyle{ \chi^2}\)

b)\(\displaystyle{ H_0(m=7,6)}\)

c)\(\displaystyle{ H_0(\sigma^2=0,6)}\)

Bardzo proszę o pomoc w rozwiązaniu tego zadania:)

[janusz47]

Obliczenia w programie R
Dane:

> n=20
> wyniki<-c(9,8,7,7,6,6,8,8,6,6,7,6,8,6,8,6,8,8,6,6)
> alfa =0.05
> X=mean(wyniki) -wartość średnia
> X
[1] 7
> s= sd(wyniki) - odchylenie standardowe
> s
[1] 1.025978
> u=qnorm(0.95) - kwantyl rzędu 0,95 standaryzowanego rozkładu normalnego
> u
[1] 1.644854
> L=X-(s*u)/sqrt(n) - lewy koniec przedziału ufności
> L
[1] 6.622645
> P=X+(s*u)/sqrt(n) - prawy koniec przedziału ufności
> P
[1] 7.377355

Interpretacja otrzymanego przedziału ufności dla średniej.

Należy oczekiwać, że przedział ufności o końcach 6,6; 7,38 jest tym przedziałem, który z prawdopodobieństwem 0,9 pokryje nieznane stężenie chlorku sodu, a nie tylko próby dwudziesto- elementowej.

Dodatkowe obliczenia dla wariancji
> u1=qchisq(0.05,19) - kwantyl rzędu 0,05 z 19 stopniami swobody rozkładu \(\displaystyle{ \chi^{2}.}\)
>u1
[1] 10.11701
> u2=qchisq(0.95,19) - kwantyl rzędu 0,95 z 19 stopniami swobody rozkładu \(\displaystyle{ \chi^{2}.}\)
> u2
[1] 30.14353
> L= n*s^2/u2 - lewy koniec przedziału ufności.
> L
[1] 0.698413
> P=n*s^2/u1
> P
[1] 2.080914 - prawy koniec przedziału ufności.

Należy spodziewać się, że przedział ufności o końcach 0,7 i 2,0 jest tym przedziałem, który z prawdopodobieństwem 0,9 pokryje nieznaną wariancję stężenia chlorku sodu, a nie tylko próby 20-elementowej.

[SlotaWoj]

Janusz7 podał Ci rozwiązanie części b) zadania w oparciu o rozkład normalny, ale ze względu na niezbyt liczną próbę właściwsze byłoby rozwiązanie w oparciu o rozkład t-Studenta i wtedy szerokość przedziału ufności będzie nieco większa i wynosi \(\displaystyle{ [6,60331;7,39669]}\).

Przypominam, że przedział ufności średniej, przy nieznanej wariancji i mało- lub średniolicznej próbie (przyjmuje się \(\displaystyle{ n\le30}\)) zdefiniowany jest następująco:

• \(\displaystyle{ P\left(\overline{X}-t_{1-\frac{\alpha}{2}}\frac{S}{\sqrt{{\red{n}}}}<\mu<\overline{X}+t_{1-\frac{\alpha}{2}}\frac{S}{\sqrt{{\red{n}}}}\right)=1-\alpha\quad\mbox{gdzie:}\quad S=\sqrt{\frac{ \sum_{i} (X_i-\overline{X})^2}{{\red{n-1}}}}}\)

lub:

• \(\displaystyle{ P\left(\overline{X}-t_{1-\frac{\alpha}{2}}\frac{S}{\sqrt{{\red{n-1}}}}<\mu<\overline{X}+t_{1-\frac{\alpha}{2}}\frac{S}{\sqrt{{\red{n-1}}}}\right)=1-\alpha\quad\mbox{gdzie:}\quad S=\sqrt{\frac{ \sum_{i} (X_i-\overline{X})^2}{{\red{n}}}}}\)

gdzie: \(\displaystyle{ t_{1-\frac{\alpha}{2}}\) to kwantyl rzędu \(\displaystyle{ 1-\frac{\alpha}{2}}\) (bo przedział ufności jest dwustronny) rozkładu t-Studenta o \(\displaystyle{ {\red{n-1}}}\) stopniach swobody (w obu ww. wzorach).
Wzory te są istotne, bo rozwiązując zadanie przy pomocy programów komputerowych trzeba dokładnie wiedzieć w jaki sposób program oblicza odchylenie standardowe, tzn. czy jest ono pierwiastkiem z nieobciążonego (pierwszy wzór), czy obciążonego (drugi wzór) estymatora wariancji.

Rozwiązanie części c) nie stwarzało żadnych problemów z wyborem rozkładu odniesienia.

Pozostaje do rozwiązania część a) zadania. Trzeba wykonać test zgodności \(\displaystyle{ \chi^2}\) Pearsona.