Relacja równoważności

[Sachato]

Witam!

Mam problem z zadankiem:
Wykazać, że relacja w \(\displaystyle{ \mathbb{N} \times \mathbb{N}}\) taka, że \(\displaystyle{ \left( m,n\right) \sim \left( k,l\right)}\) jeśli \(\displaystyle{ m+l =n+k}\), jest relacją równoważności. Opisać klasy równoważności. Czym jest zbiór klas równoważności?

Mam to wykazać w ten sposób? :

relacja zwrotna \(\displaystyle{ \forall x\inX}\) , \(\displaystyle{ x \sim x}\) \(\displaystyle{ m+m=n+n \Rightarrow 2m=2n}\) i tyle?
relacja symetryczna \(\displaystyle{ \forall x,y\in X}\) , \(\displaystyle{ x \sim y \Rightarrow y \sim x}\) \(\displaystyle{ m + l = n + k \Rightarrow l + m = k + l}\)
relacja przechodnia \(\displaystyle{ \forall x,y,z\in X}\) , \(\displaystyle{ x \sim y \wedge y \sim z \Rightarrow x \sim z}\) czyli \(\displaystyle{ z=\left( o,p\right)}\) , \(\displaystyle{ m+l = n+k \wedge k+p = l+o \Rightarrow m+p =n+o}\)
tu jest chyba taki myk, że zapisuję to w ten sposób:
\(\displaystyle{ m+l =n+k}\)
\(\displaystyle{ k+p =l +o}\) i skracam \(\displaystyle{ k}\) i \(\displaystyle{ l}\), bo są po obydwóch stronach, a następnie zapisuję \(\displaystyle{ m+p=n+o}\). Tak przynajmniej robiliśmy na zajęciach...

nie wiem co z tym dalej zrobić, a z opisaniem klasy równoważności już totalnie sobie nie potrafię poradzić, ktoś pomoże?

Z góry dziękuje za odpowiedź!!

[Poszukujaca]

Klasy równoważności to inaczej klasy abstrakcji. Najprościej mówiąc klasa abstrakcji elementu \(\displaystyle{ x}\) to wszystkie elementy \(\displaystyle{ y}\), które SĄ Z NIM W RELACJI.

[yorgin]

relacja zwrotna \(\displaystyle{ \forall x\inX}\) , \(\displaystyle{ x \sim x}\) \(\displaystyle{ m+m=n+n \Rightarrow 2m=2n}\) i tyle?

Źle zastosowana definicja relacji.

relacja symetryczna \(\displaystyle{ \forall x,y\in X}\) , \(\displaystyle{ x \sim y \Rightarrow y \sim x}\) \(\displaystyle{ m + l = n + k \Rightarrow l + m = k + l}\)

I co dalej? Jakiś komentarz poza rozpisaniem definicji?

relacja przechodnia \(\displaystyle{ \forall x,y,z\in X}\) , \(\displaystyle{ x \sim y \wedge y \sim z \Rightarrow x \sim z}\) czyli \(\displaystyle{ z=\left( o,p\right)}\) , \(\displaystyle{ m+l = n+k \wedge k+p = l+o \Rightarrow m+p =n+o}\)
tu jest chyba taki myk, że zapisuję to w ten sposób:
\(\displaystyle{ m+l =n+k}\)
\(\displaystyle{ k+p =l +o}\) i skracam \(\displaystyle{ k}\) i \(\displaystyle{ l}\), bo są po obydwóch stronach, a następnie zapisuję \(\displaystyle{ m+p=n+o}\). Tak przynajmniej robiliśmy na zajęciach...

Jaki znowu myk? Wystarczy przecież zwykłe wyrugowanie z pierwszej równości \(\displaystyle{ k}\) i podstawienie do drugiej równości. Komentarz ze "skracaniem" jest wysoce nieprecyzyjny.

nie wiem co z tym dalej zrobić, a z opisaniem klasy równoważności już totalnie sobie nie potrafię poradzić, ktoś pomoże?

Zauważ, ze relację można przepisać do postaci

\(\displaystyle{ (m,n)\sim (k,l)\iff m-n=k-l}\).

Albo inaczej: \(\displaystyle{ (m,n)\sim (k,l)\iff m=k-l+n}\).

Jeżeli więc masz ustalony element \(\displaystyle{ (k,l)}\), to każdy będący z nim w relacji jest podany jak powyżej.

[Sachato]

relacja zwrotna \(\displaystyle{ \forall x\inX}\) , \(\displaystyle{ x \sim x}\) \(\displaystyle{ m+m=n+n \Rightarrow 2m=2n}\) i tyle?

Źle zastosowana definicja relacji.

rzeczywiście Powinno być- \(\displaystyle{ m+n =n+m}\), czyli \(\displaystyle{ 0=0}\) ? I tyle?

relacja symetryczna \(\displaystyle{ \forall x,y\in X}\) , \(\displaystyle{ x \sim y \Rightarrow y \sim x}\) \(\displaystyle{ m + l = n + k \Rightarrow l + m = k + l}\)

I co dalej? Jakiś komentarz poza rozpisaniem definicji?

No właśnie nie wiem, mam to zapisać w układzie równań i skrócić?

relacja przechodnia \(\displaystyle{ \forall x,y,z\in X}\) , \(\displaystyle{ x \sim y \wedge y \sim z \Rightarrow x \sim z}\) czyli \(\displaystyle{ z=\left( o,p\right)}\) , \(\displaystyle{ m+l = n+k \wedge k+p = l+o \Rightarrow m+p =n+o}\)
tu jest chyba taki myk, że zapisuję to w ten sposób:
\(\displaystyle{ m+l =n+k}\)
\(\displaystyle{ k+p =l +o}\) i skracam \(\displaystyle{ k}\) i \(\displaystyle{ l}\), bo są po obydwóch stronach, a następnie zapisuję \(\displaystyle{ m+p=n+o}\). Tak przynajmniej robiliśmy na zajęciach...

Jaki znowu myk? Wystarczy przecież zwykłe wyrugowanie z pierwszej równości \(\displaystyle{ k}\) i podstawienie do drugiej równości. Komentarz ze "skracaniem" jest wysoce nieprecyzyjny.

Czyli taki układ równości stworzyć? Czy po prostu przerzucić wszystko na drugą stronę, tak żeby została zmienna \(\displaystyle{ k}\) i ją podstawić do drugiego równania ?:)

nie wiem co z tym dalej zrobić, a z opisaniem klasy równoważności już totalnie sobie nie potrafię poradzić, ktoś pomoże?

Zauważ, ze relację można przepisać do postaci

\(\displaystyle{ (m,n)\sim (k,l)\iff m-n=k-l}\).

Albo inaczej: \(\displaystyle{ (m,n)\sim (k,l)\iff m=k-l+n}\).

Jeżeli więc masz ustalony element \(\displaystyle{ (k,l)}\), to każdy będący z nim w relacji jest podany jak powyżej.

I tyle wystarczy, czy jeszcze jakiś komentarz słowny?

Dziękuje za odpowiedzi! ))

[yorgin]

rzeczywiście Powinno być- \(\displaystyle{ m+n =n+m}\), czyli \(\displaystyle{ 0=0}\) ? I tyle?

Prawie tyle. Skoro jest tożsamość, to... dokończ samodzielnie.

No właśnie nie wiem, mam to zapisać w układzie równań i skrócić?

Po co? Wypisana implikacja to nic innego, jak przemienność dodawania. Wystarczy się więc na nią powołać.

Czyli taki układ równości stworzyć? Czy po prostu przerzucić wszystko na drugą stronę, tak żeby została zmienna \(\displaystyle{ k}\) i ją podstawić do drugiego równania ?:)

Lepiej po prostu wyruguj \(\displaystyle{ k}\) i podstaw do drugiego równania.

I tyle wystarczy, czy jeszcze jakiś komentarz słowny?

Oczywiście, że nie wystarczy. Nawet dodatkowy komentarz słowny nie wystarczy. Oczekiwana odpowiedź jest taka:

\(\displaystyle{ [(k,l)]_{\sim}=\{\ldots\}}\)

gdzie w miejsce kropek trzeba coś wpisać.

Brak jest też odpowiedzi na pytanie

Czym jest zbiór klas równoważności?

Tutaj pomocne może być to, że każda klasa równoważności składa się z tych par, których różnice są ustaloną liczbą całkowitą.

[Sachato]

Prawie tyle. Skoro jest tożsamość, to... dokończ samodzielnie.

jest spełniona niezależnie od liczb wstawionych w równanie- coś takiego xD

Lepiej po prostu wyruguj \(\displaystyle{ k}\) i podstaw do drugiego równania.

co to znaczy wyruguj?

Oczywiście, że nie wystarczy. Nawet dodatkowy komentarz słowny nie wystarczy. Oczekiwana odpowiedź jest taka:

\(\displaystyle{ [(k,l)]_{\sim}=\{\ldots\}}\)

gdzie w miejsce kropek trzeba coś wpisać.

Brak jest też odpowiedzi na pytanie

Czym jest zbiór klas równoważności?

Tutaj pomocne może być to, że każda klasa równoważności składa się z tych par, których różnice są ustaloną liczbą całkowitą.

Nie wiem co tu można napisać. Para liczb jakoś mi się wydaje zamknięta na jakiekolwiek modyfikacje.
\(\displaystyle{ [(k,l)]_{\sim}=}\) takie, że \(\displaystyle{ (k,l)}\) jest w relacji \(\displaystyle{ (m,n)}\)?

[Jan Kraszewski]

jest spełniona niezależnie od liczb wstawionych w równanie- coś takiego xD

...to dowolna para \(\displaystyle{ (m,n)}\) jest w relacji sama ze sobą, czyli relacja jest zwrotna.

co to znaczy wyruguj?

Chodziło o wyznaczenie \(\displaystyle{ k}\) z pierwszego równania i podstawienie do drugiego.

Nie wiem co tu można napisać. Para liczb jakoś mi się wydaje zamknięta na jakiekolwiek modyfikacje.
\(\displaystyle{ [(k,l)]_{\sim}=}\) takie, że \(\displaystyle{ (k,l)}\) jest w relacji \(\displaystyle{ (m,n)}\)?

Nie. Masz opisać ten zbiór, a nie zacytować (niepoprawnie zresztą) definicję klasy abstrakcji elementu. Przy tym nie musisz korzystać z nawiasów kwadratowych. Ja opisałbym klasy abstrakcji tak:

\(\displaystyle{ A_z=\{(k,l)\in\NN\times\NN: k-l=z\}}\), gdzie \(\displaystyle{ z\in\ZZ}\).

Wtedy dość prosta jest odpowiedź na ostatnie pytanie.

Przy okazji polecam 308032.htm#p4974249.

JK

[Sachato]

W ten sposób...

Ciężko wpaść na to, a to jest strasznie proste... Dziękuje bardzo chłopaki. Bardzo mi pomogliście.