Czy zbiór jest podgrupą
-
- Użytkownik
- Posty: 25
- Rejestracja: 14 sty 2015, o 02:34
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: PL
- Podziękował: 5 razy
- Pomógł: 1 raz
Czy zbiór jest podgrupą
Niech \(\displaystyle{ \left( G, \cdot \right)}\) będzie grupą macierzy nieosbliwych \(\displaystyle{ \RR ^{2x2}}\). Czy zbiór:
\(\displaystyle{ H=\left\{ \left[ \begin{array}{cc}1 & 0\\ a & b \end{array}\right] \in G : a \neq 0 \wedge b \in \RR\right\}}\)
Jest podgrupą grupy G.
Udowadniam że jest.
\(\displaystyle{ A=\left[\begin{array}{cc}1 & 0\\ a & b \end{array} \right]}\) \(\displaystyle{ B=\left[\begin{array}{cc}1 & 0\\ c & d \end{array} \right]}\)
\(\displaystyle{ A,B \in H}\)
\(\displaystyle{ B ^{-1} =\left[\begin{array}{cc}1 & 0\\ - \frac{c}{d} & \frac{1}{d} \end{array} \right] \in H}\)
\(\displaystyle{ A \cdot B ^{-1} = \left[\begin{array}{cc}1 & 0\\ a- \frac{bc}{d} & \frac{b}{d} \end{array} \right] \in H}\)
Podgrupa H ma element przeciwny. Więc może być podgrupą grupy G. Czy to wszystko czy przydało by się jeszcze kilka słów o tym?
No tak, ale nie istnieje element neutralny bo \(\displaystyle{ a \not \in 0}\) czyli nie ma macierzy identycznościowej więc?
\(\displaystyle{ H=\left\{ \left[ \begin{array}{cc}1 & 0\\ a & b \end{array}\right] \in G : a \neq 0 \wedge b \in \RR\right\}}\)
Jest podgrupą grupy G.
Udowadniam że jest.
\(\displaystyle{ A=\left[\begin{array}{cc}1 & 0\\ a & b \end{array} \right]}\) \(\displaystyle{ B=\left[\begin{array}{cc}1 & 0\\ c & d \end{array} \right]}\)
\(\displaystyle{ A,B \in H}\)
\(\displaystyle{ B ^{-1} =\left[\begin{array}{cc}1 & 0\\ - \frac{c}{d} & \frac{1}{d} \end{array} \right] \in H}\)
\(\displaystyle{ A \cdot B ^{-1} = \left[\begin{array}{cc}1 & 0\\ a- \frac{bc}{d} & \frac{b}{d} \end{array} \right] \in H}\)
Podgrupa H ma element przeciwny. Więc może być podgrupą grupy G. Czy to wszystko czy przydało by się jeszcze kilka słów o tym?
No tak, ale nie istnieje element neutralny bo \(\displaystyle{ a \not \in 0}\) czyli nie ma macierzy identycznościowej więc?
- yorgin
- Użytkownik
- Posty: 12762
- Rejestracja: 14 paź 2006, o 12:09
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Kraków
- Podziękował: 17 razy
- Pomógł: 3440 razy
Czy zbiór jest podgrupą
A co, gdy \(\displaystyle{ d=0}\)? Definicja \(\displaystyle{ H}\) dopuszcza taką możliwość.kamaz08 pisze: \(\displaystyle{ B ^{-1} =\left[\begin{array}{cc}1 & 0\\ - \frac{c}{d} & \frac{1}{d} \end{array} \right] \in H}\)
Zapis \(\displaystyle{ a\notin 0}\) nie ma sensu. W \(\displaystyle{ H}\) jest zawarta macierz jednostkowa.kamaz08 pisze: No tak, ale nie istnieje element neutralny bo \(\displaystyle{ a \not \in 0}\) czyli nie ma macierzy identycznościowej więc?
- jutrvy
- Użytkownik
- Posty: 1202
- Rejestracja: 24 lis 2014, o 18:04
- Płeć: Mężczyzna
- Podziękował: 10 razy
- Pomógł: 239 razy
Czy zbiór jest podgrupą
W ogóle ten zbiór nie jest podzbiorem macierzy odwracalnych, bo z definicji \(\displaystyle{ H}\) wynika, że
\(\displaystyle{ \left[\begin{array}{cc}1 & 0\\ 1 & 0 \end{array} \right]\in H}\),
więc jak mamy tu mówić o podgrupie? o_O
\(\displaystyle{ \left[\begin{array}{cc}1 & 0\\ 1 & 0 \end{array} \right]\in H}\),
więc jak mamy tu mówić o podgrupie? o_O
-
- Użytkownik
- Posty: 25
- Rejestracja: 14 sty 2015, o 02:34
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: PL
- Podziękował: 5 razy
- Pomógł: 1 raz
Czy zbiór jest podgrupą
No d nie może być 0 bo wtedy wyznacznik byłby równy zero, a są to macierze nieosobliwe, czyli wyznacznik musi być różny od 0. Chodziło mi o \(\displaystyle{ a \neq 0}\)
- Medea 2
- Użytkownik
- Posty: 2491
- Rejestracja: 30 lis 2014, o 11:03
- Płeć: Kobieta
- Podziękował: 23 razy
- Pomógł: 479 razy
Czy zbiór jest podgrupą
Możemy, bo definicja \(\displaystyle{ H}\) zaczyna się od \(\displaystyle{ \{ M \in G : \dots}\), więc ta macierz z pewnością nie należy do \(\displaystyle{ H}\).jutrvy pisze:W ogóle ten zbiór nie jest podzbiorem macierzy odwracalnych, bo z definicji \(\displaystyle{ H}\) wynika, że
\(\displaystyle{ \left[\begin{array}{cc}1 & 0\\ 1 & 0 \end{array} \right]\in H}\),
więc jak mamy tu mówić o podgrupie? o_O
- Medea 2
- Użytkownik
- Posty: 2491
- Rejestracja: 30 lis 2014, o 11:03
- Płeć: Kobieta
- Podziękował: 23 razy
- Pomógł: 479 razy
Czy zbiór jest podgrupą
Odpowiedź jednak się nie zmieni, prawda? Gdyby \(\displaystyle{ H}\) miała element neutralny, to byłby on neutralny także dla \(\displaystyle{ G}\). Problem w tym, że warunek \(\displaystyle{ a \neq 0}\) wszystko psuje. O elemencie odwrotnym możemy więc tylko pomarzyć.