mam daną kulę : B(0, \(\displaystyle{ r_{0}}\))
równanie Laplace'a : ∆u=0
∆u=\(\displaystyle{ \frac{ \partial ∂ ^{2} u}{ \partial ∂x ^{2} }+\frac{ \partial ∂ ^{2} u}{ \partial ∂y ^{2} }}\)
\(\displaystyle{ u=g}\)
współrzędne biegunowe :
\(\displaystyle{ x=r cos \varphi}\)
\(\displaystyle{ y=r sin\varphi}\)
\(\displaystyle{ r\in (0,r_{0})}\)
\(\displaystyle{ \varphi \in ( - \pi , \pi )}\)
\(\displaystyle{ u(r cos \varphi, r sin \varphi)}\)
\(\displaystyle{ u(r _{0},\varphi )=g ^{*}=g(r cos \varphi, r sin \varphi)}\)
\(\displaystyle{ u(r, - \pi )=u(r, \pi )}\)
\(\displaystyle{ \frac{ \partial u}{ \partial r} = \frac{ \partial u}{ \partial x}cos\varphi +\frac{ \partial u}{ \partial y}sin\varphi}\)
\(\displaystyle{ \frac{ \partial ^{2} u}{ \partial r ^{2} }=\frac{ \partial ^{2} u}{ \partial x ^{2} }cos ^{2}\varphi+ \frac{ \partial ^{2} u}{ \partial y ^{2} }sin ^{2}\varphi}\)
\(\displaystyle{ \frac{ \partial u}{ \partial \varphi} = -r \frac{ \partial u}{ \partial x}sin\varphi +\frac{ \partial u}{ \partial y}r cos\varphi}\)
\(\displaystyle{ \frac{ \partial ^{2} u}{ \partial \varphi ^{2} }=r \frac{ \partial ^{2} u}{ \partial x ^{2} }sin ^{2}\varphi-r ^{2} \frac{ \partial ^{2} u}{ \partial x \partial y }sin \varphi cos \varphi -r\frac{ \partial u}{ \partial x}cos\varphi+ \frac{ \partial u ^{2} }{ \partial x \partial y }r ^{2} cos \varphi sin \varphi- \frac{ \partial ^{2} u}{ \partial y ^{2} }r ^{2} cos ^{2} \varphi - \frac{ \partial u}{ \partial y} r sin \varphi}\)
(...)
gdzieś, w którymś równaniu jest błąd, ale nie mogę sie doszukać.
Dziękuję za pomoc
