Obliczyć długośc elipsy o półosiach a i b

[alek1292]

Polecenie:
Obliczyć pole elipsy o półosiach \(\displaystyle{ a}\) i \(\displaystyle{ b}\).

1. Robie parametryzacje
\(\displaystyle{ y\left( t\right)=\left( a \cdot \cos\left( t\right), b \cdot \sin\left( t\right) \right)}\)

\(\displaystyle{ y'\left( t\right) =\left( -a \cdot \sin\left( t\right) , b \cdot cos\left( t\right) \right)}\)
\(\displaystyle{ \left|y'\left( t\right) \right|= \sqrt{a ^{2} \cdot \sin ^{2 }\left( t\right)+b ^{2} \cdot \cos ^{2}\left( t\right) }=\sqrt{a ^{2} \cdot \sin ^{2} \left(t \right)+b ^{2}\left( 1-\sin ^{2}\left( t\right) \right) }=\sqrt{a ^{2} -\cos ^{2}\left( t\right)\left( b ^{2}-a ^{2} \right) }}\)

Pole to będzie całka \(\displaystyle{ \int_{0}^{2 \cdot \pi }\sqrt{a ^{2} -\cos ^{2}\left( t\right)\left( b ^{2}-a ^{2} \right)}\mbox{d}t}\)
Próbowałem na różne sposoby policzyć tą całke np korzystałem ze wzoru \(\displaystyle{ \cos\left( 2a \cdot \right)=cos ^{2}\left( a\right) - \sin ^{2} \left( a\right)}\) ale nie wiele to dawało. Prosze o wskazówke jak obliczyć tą całke

[jutrvy]

O mój Boże, czemu tak skomplikowane rozwiązanie? Elipsa jest obrazem koła przez przekształcenie liniowe o doagonalnej macierzy. Ponieważ miara Lebesgue'a elipsy, to będzie miara Lebesgue'a koła razy wyznacznik macierzy przekształcenia liniowego, to wystarczy, że znajdziesz macierz tego przekształcenia. Pozdrawiam

[alek1292]

Jeśli chodzi o parametryzacje to tak nas uczyli aby w taki sposób ją przeprowadzać. Niestety nie rozumiem o co ci chodzi z jakimś wyznacznikiem przekształcenia chce obliczyć tę całke bo to ona stoi mi na przeszkodzie aby poznać wzór na pole elipsy

[Premislav]

Ja tak tylko w kwestii czepialstwa, bo mam zły dzień: miara Lebesgue'a koła razy moduł wyznacznika przekształcenia, inaczej mógłby wyjść zbiór o ujemnej mierze Lebesgue'a, czyli trochę tak sprzeczność.

[jutrvy]

A co to jest wyznacznik? Komplikujesz sprawę. Przecież jeśli wyznacznik (poprawka - moduł wyznacznika) macierzy przekształcenia liniowego \(\displaystyle{ A}\) z \(\displaystyle{ \RR^2}\) w \(\displaystyle{ \RR^2}\) równa się \(\displaystyle{ |D|}\), to wtedy dla dowolnego zbioru borelowskiego, no dobra, powiedzmy, figury \(\displaystyle{ F}\) mamy, że pole \(\displaystyle{ A(F)}\) jest równe polu \(\displaystyle{ F}\) przemnożonym przez właśnie \(\displaystyle{ |D|}\). A jak masz jakieś zadanie, gdzie musisz policzyć całkę i wiesz, że jest sposób, żeby jej nie liczyć, a Ty i tak to robisz, to moim zdaniem powinieneś się leczyć na pracoholizm...

[yorgin]

Polecenie:
Obliczyć pole elipsy o półosiach \(\displaystyle{ a}\) i \(\displaystyle{ b}\).

1. Robie parametryzacje
\(\displaystyle{ y\left( t\right)=\left( a \cdot \cos\left( t\right), b \cdot \sin\left( t\right) \right)}\)

\(\displaystyle{ y'\left( t\right) =\left( -a \cdot \sin\left( t\right) , b \cdot cos\left( t\right) \right)}\)
\(\displaystyle{ \left|y'\left( t\right) \right|= \sqrt{a ^{2} \cdot \sin ^{2 }\left( t\right)+b ^{2} \cdot \cos ^{2}\left( t\right) }=\sqrt{a ^{2} \cdot \sin ^{2} \left(t \right)+b ^{2}\left( 1-\sin ^{2}\left( t\right) \right) }=\sqrt{a ^{2} -\cos ^{2}\left( t\right)\left( b ^{2}-a ^{2} \right) }}\)

Pole to będzie całka \(\displaystyle{ \int_{0}^{2 \cdot \pi }\sqrt{a ^{2} -\cos ^{2}\left( t\right)\left( b ^{2}-a ^{2} \right)}\mbox{d}t}\)
Próbowałem na różne sposoby policzyć tą całke np korzystałem ze wzoru \(\displaystyle{ \cos\left( 2a \cdot \right)=cos ^{2}\left( a\right) - \sin ^{2} \left( a\right)}\) ale nie wiele to dawało. Prosze o wskazówke jak obliczyć tą całke

Nic dziwnego, że Ci nie wychodzi. Całe te obliczenia prowadzą do obwodu elipsy, nie jego pola. Notabene, nie istnieje prosty wzór na obwód elipsy.

Natomiast obliczenie pola to parametryzacja całej elipsy, nie jej obwodu. A wtedy korzystasz już z tego, o czym wyżej pisali koledzy.