\(\displaystyle{ \left\{ \left( t,\frac{1}{t} \right) : t \in \RR, t^3+t>2\right\}}\)
Orzec, czy jest podzbiorem algebraicznym płaszczyzny \(\displaystyle{ \RR^2}\). Jeśli nie, to opisać domknięcie w topologii Zariskiego.
Domknięcie w topologii Zariskiego
-
Katarzyna92
- Użytkownik
- Posty: 45
- Rejestracja: 27 gru 2011, o 16:11
- Płeć: Kobieta
- Lokalizacja: Kraków
- Podziękował: 24 razy
- Pomógł: 1 raz
-
Dasio11
- Moderator
- Posty: 10305
- Rejestracja: 21 kwie 2009, o 19:04
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Wrocław
- Podziękował: 41 razy
- Pomógł: 2429 razy
Domknięcie w topologii Zariskiego
\(\displaystyle{ A = \left\{ \left( t, \frac{1}{t} \right) : t^3 + t > 2 \right\}.}\)
Każdy zbiór algebraiczny w \(\displaystyle{ \RR^2}\) jest domknięty w topologii euklidesowej, więc zbiór \(\displaystyle{ A}\) nie jest algebraiczny, bo nie jest domknięty.
Domknięciem tego zbioru w topologii Zariskiego jest \(\displaystyle{ H = \{ (x, y) \in \RR^2 : xy = 1 \}.}\) Żeby to pokazać, należy z definicji topologicznego domknięcia udowodnić dwie rzeczy:
\(\displaystyle{ \bullet}\) Zbiór \(\displaystyle{ H}\) jest domknięty w topologii Zariskiego;
\(\displaystyle{ \bullet}\) Dla dowolnego zbioru domkniętego \(\displaystyle{ F \supseteq A}\) również \(\displaystyle{ F \supseteq H.}\)
Do tego celu wystarczy:
\(\displaystyle{ \bullet}\) Wskazać taki wielomian \(\displaystyle{ f \in \RR[ X, Y ],}\) że \(\displaystyle{ \mathcal{Z}(f) = H}\);
\(\displaystyle{ \bullet}\) Udowodnić, że dla dowolnego takiego wielomianu \(\displaystyle{ g \in \RR[ X, Y ],}\) że \(\displaystyle{ A \subseteq \mathcal{Z}(g),}\) jest \(\displaystyle{ (xy-1) \mid g,}\) zatem \(\displaystyle{ H \subseteq \mathcal{Z}(g).}\)
Każdy zbiór algebraiczny w \(\displaystyle{ \RR^2}\) jest domknięty w topologii euklidesowej, więc zbiór \(\displaystyle{ A}\) nie jest algebraiczny, bo nie jest domknięty.
Domknięciem tego zbioru w topologii Zariskiego jest \(\displaystyle{ H = \{ (x, y) \in \RR^2 : xy = 1 \}.}\) Żeby to pokazać, należy z definicji topologicznego domknięcia udowodnić dwie rzeczy:
\(\displaystyle{ \bullet}\) Zbiór \(\displaystyle{ H}\) jest domknięty w topologii Zariskiego;
\(\displaystyle{ \bullet}\) Dla dowolnego zbioru domkniętego \(\displaystyle{ F \supseteq A}\) również \(\displaystyle{ F \supseteq H.}\)
Do tego celu wystarczy:
\(\displaystyle{ \bullet}\) Wskazać taki wielomian \(\displaystyle{ f \in \RR[ X, Y ],}\) że \(\displaystyle{ \mathcal{Z}(f) = H}\);
\(\displaystyle{ \bullet}\) Udowodnić, że dla dowolnego takiego wielomianu \(\displaystyle{ g \in \RR[ X, Y ],}\) że \(\displaystyle{ A \subseteq \mathcal{Z}(g),}\) jest \(\displaystyle{ (xy-1) \mid g,}\) zatem \(\displaystyle{ H \subseteq \mathcal{Z}(g).}\)