Zbadaj zbieżność punktową, jednostajną szeregu.

[Astose]

Tytuł tematu jak zwykle taki sam...
ciężko znaleźć rozwiązanie, a napewno sie kiedyś pojawiło:
Zbadaj zbieżność punktową i jednostajną szeregu:
\(\displaystyle{ \sum\limits_{n=1}^{+\infty}\frac{1}{n}\sin\left(\frac{x}{n}\right) \text{ dla }x\in\left[-100;100\right]}\)
Prawdopodobnie dany szereg jest zbieżny jednostajnie, jednakże nie mam bladego pojęcia jak to zrobić.
Próbowałem to robić z rozwinięcia taylora dla sinusa, tylko że wtedy otrzymujemy szereg szeregów zbieżnych... a nigdy nie wiadomo czy to tez jest zbieżne...
Prosiłbym o jakieś wskazówki.

[jutrvy]

A kryterium Dirichleta znasz?

[Astose]

Znać znam, tylko jak pokazać, że
\(\displaystyle{ \sum\limits_{n=1}^{+\infty}\sin\frac{x}{n}}\)
ma ograniczony ciąg sum częściowych?

[jutrvy]

A może inaczej?... Coś źle podpowiedziałem chyba. Jest taka nierówność \(\displaystyle{ \sin(x) < x}\) nie? Nie pomaga tutaj?...

[Astose]

to pewnie z kryterium Weierstrassa i podanej wyżej nierówności:
\(\displaystyle{ \sum\limits_{n=1}^{+\infty}\left|\frac{1}{n}\cdot\sin\frac{x}{n}\right|\le
\sum\limits_{n=1}^{+\infty}\left|\frac{1}{n}\cdot\frac{x}{n}\right|=\left|x\right|\cdot\sum\limits_{n=1}^{+\infty}\left|\frac{1}{n^2}\right|\le100\sum\limits_{n=1}^{+\infty}\left|\frac{1}{n^2}\right|}\)
a szereg po skrajnie prawej stronie jest zbiezny (jednostajnie), wiec na mocy kryterium Weierstrassa, badany szereg jest zbieżny.
Czy coś pominąłem?

[Dasio11]

Nie pominąłeś, ale w kwestii perfekcji:

1. Nierówności należy napisać bez sum:

\(\displaystyle{ \left| \frac{1}{n} \sin \frac{x}{n} \right| \le \ldots \le \frac{100}{n^2}}\)

2. Szereg \(\displaystyle{ \sum_{n=1}^{\infty} \frac{100}{n^2}}\) jest zbieżny zwyczajnie, a nie jednostajnie, bo to szereg liczbowy.

No i wnioskiem oczywiście jest zbieżność jednostajna, a nie tylko zbieżność.

[Astose]

A czy szereg: \(\displaystyle{ \sum\limits_{n=1}^{+\infty}\frac{100}{n^2}}\) nie jest szczególnym szeregiem funkcyjnym dla funkcji stałej?
np \(\displaystyle{ f_n\left(x\right)=\frac{100}{n^2}}\) to ciąg funkcyjny, gdzie x nas nie interesuje, czyli sprowadzamy to do zwykłego ciągu.

Dodatkowo pytanie (przy traktowaniu ciągu jako ciągu funkcyjnego funkcji stałej): Czy jeżeli szereg
\(\displaystyle{ \sum\limits_{n=0}^{+\infty}f_n\left(x\right)}\), gdzie \(\displaystyle{ f_n\left(x\right)}\) to pewien ciąg (niezależny od x), jest zbieżny, to czy jest jednostajnie zbieżny?

Możliwe, że mówie o maśle maślanym, ale zapytam ;p

EDIT
Może inaczej: Czy szereg funkcyjny jest zbieżny wtw jest zbieżny jednostajnie?

[Dasio11]

A czy szereg: \(\displaystyle{ \sum\limits_{n=1}^{+\infty} \frac{100}{n^2}}\) nie jest szczególnym szeregiem funkcyjnym dla funkcji stałej?

Nie myśli się o tym w ten sposób, podobnie jak o liczbie nie myśli się zazwyczaj, że jest ciągiem stałym. Ale jeśli to w czymś pomoże, to można go tak traktować.

Czy jeżeli szereg
\(\displaystyle{ \sum\limits_{n=0}^{+\infty}f_n\left(x\right)}\), gdzie \(\displaystyle{ f_n\left(x\right)}\) to pewien ciąg (niezależny od x), jest zbieżny, to czy jest jednostajnie zbieżny?

Tak.

W zasadzie kryterium Weierstrassa można by uogólnić, by mówiło tak:

• Załóżmy, że \(\displaystyle{ \sum_{n=1}^{\infty} g_n(x)}\) jest zbieżny jednostajnie oraz \(\displaystyle{ |f_n(x)| \le g_n(x).}\) Wtedy szereg \(\displaystyle{ \sum_{n=1}^{\infty} f_n(x)}\) też jest zbieżny jednostajnie.

i to uzasadniałoby traktowanie zbieżnego szeregu liczbowego w kryterium Weierstrassa jako szczególnego przypadku zbieżnego jednostajnie szeregu funkcyjnego.