Metoda liczb zespolonych

[Assassin-Girl]

Witam.

Mam do zrobienia takie zadanie.

Wyznaczyć funkcję \(\displaystyle{ U= \frac{ U_{out} }{ U_{in} }}\) w postaci \(\displaystyle{ A=|A| e^{ \alpha j}}\), gdzie \(\displaystyle{ U=U_{0}sin(\omega t)}\).



Nie wiem do końca, jak to ugryźć. Myślałam, czy by tego połączenia równoległego na górze nie zwinąć w jedno. Tyle że nie będzie to przypadkiem miało potem znaczenia, gdy spróbuję zastosować I Prawo Kirchhoffa?

Gdyby ktoś mnie nakierował, to będę wdzięczna.

[Igor V]

No to metodą wskazową jedziemy :
\(\displaystyle{ U=U_{0}\sin(\omega t)=U_0\cos\left(\omega t - \frac{\pi}{2}\right) \rightarrow u=U_0e ^{ \frac{\pi}{2} j}}\)

Żeby znaleźć zaznaczone napięcia musisz znać prąd płynący przez opornik po prawo i prąd płynący przez źródło z kondensatorem.No i rozwiązywać możesz różnymi metodami.Najłatwiej tutaj nie Kirchoffem ,ale po prostu z połączeń szeregowo - równoległych.Tak jak mówisz to R i C na górze są połączone równolegle ,a potem ta wypadkowa jest połączona szeregowo z R,C i U.Jak policzysz taki opór zastępczy to bardzo łatwo wyznaczysz prąd płynący przez te źródło i kondensator ,czyli masz już napięcie \(\displaystyle{ U _{in}}\).Ale zauważ że masz też od razu \(\displaystyle{ U _{out}}\) ,bo to ten sam prąd (wypływa ze źródła ,potem się rozgałęzia i z powrotem sumuje i płynie przez R po prawo).No i masz wszystko gotowe.

[Assassin-Girl]

O, super wyjaśnione, dzięki!

Żeby nie zakładać nowego tematu, mam jeszcze takie zadanie:

Wyznaczyć fazę oraz moduł \(\displaystyle{ U_c(j\omega)}\) dla \(\displaystyle{ U = U_{0}sin(\omega t)}\).



Rozumiem, że U przedstawiamy w takiej samej postaci jak w zadaniu poprzednim, R i C "zwijamy" i obliczamy, jaki prąd płynie w całym obwodzie, bo wyjdzie nam połączenie szeregowe. Hm, potem trzeba wrócić do wejściowego obwodu i obliczyć, jaki prąd płynie w R, a jaki w C?

[Igor V]

Rozumiem, że U przedstawiamy w takiej samej postaci jak w zadaniu poprzednim, R i C "zwijamy" i obliczamy, jaki prąd płynie w całym obwodzie, bo wyjdzie nam połączenie szeregowe

Tak

Hm, potem trzeba wrócić do wejściowego obwodu i obliczyć, jaki prąd płynie w R, a jaki w C?

Można ale zupełnie nie trzeba.Cechą charakterystyczną połączenia równoległego m.in jest że na każdym z elementów jest takie samo napięcie.I na wypadkowym (zastępczym) też jest takie jak na każdym z elementów.Innymi słowy jeśli policzysz z połączenia szeregowego prąd co płynie , to wystarczy że znasz impedancję wypadkową tego połączenia równoległego.Bo z tego od razu policzysz na nim napięcie ,a ono będzie takie samo jak na R i na C.

[Assassin-Girl]

Dzięki.

Tak więc w pierwszym zad. wyszło mi coś takiego:

\(\displaystyle{ U_{in} = U_{0}e^{ \frac{\pi}{2} j}(1+\frac{R+\frac{1}{j\omega C}}{3R + \frac{1}{Rj\omega C}+R^{2}j\omega C})}\)

\(\displaystyle{ U_{out} = U_{0}e^{ \frac{\pi}{2} j}\frac{R\omega jC +1}{3+\frac{1}{R\omega jC} + R\omega jC}}\)

Nie jestem do końca pewna, czy to jest ok, bo w rozwiązaniu pojawia się arcus. Co więcej, w ilorazie skasują się exp.

[Igor V]

Przyznam się szczerze że nie sprawdzałem dokładnie Twoich przekształceń ,ale jak sobie rozpisałem to faktycznie też mi się skróciło co najmniej \(\displaystyle{ U_{0}e^{ \frac{\pi}{2} j}}\).Wniosek z tego taki że albo źle coś powiedziałem (nie widzę błędu) albo bardziej prawdopodobne że tak powinno wyjść (w końcu skoro to ten sam prąd to nie jest chyba bardzo zaskakujące).Mówisz pewnie o arkusie tangensie (albo cotangensie).Zauważ że zarówno napięcie wejściowe jak i wyjściowe (nawet jak się skróci to od źródła) to są po prostu liczby zespolone ,które możesz przedstawić w jednej z trzech ,głównych postaci :algebraicznej , trygonometrycznej albo wykładniczej.Ty musisz przedstawić jest w postaci wykładniczej i podzielić (przy takim dzieleniu ,dzieli się moduły i odejmuje argumenty).

[Assassin-Girl]

Właśnie w części odp. mam, że \(\displaystyle{ e^{j(\frac{\pi}{2}-arctg(\frac{CR}{2}))}}\), ale może by i to wyszło, jakbym wzięła się za przekształcenia. Równie dobrze mogło się też tego U nie przekształcać do formy eksponencjonalnej, bo i tak w rezultacie się skraca.

Aha, jeszcze takie drobne pytanie, ten wzór, co podałeś:

\(\displaystyle{ U=U_{0}\sin(\omega t)=U_0\cos\left(\omega t - \frac{\pi}{2}\right) \rightarrow u=U_0e ^{ \frac{\pi}{2} j}}\)

On na pewno jest ok? Bo znalazłam gdzieś jego wersję, tyle że z cosinusem.

[Igor V]

Z cosinusem ? To jest przejście na wskazy : \(\displaystyle{ A\cos(\omega t +\phi) \rightarrow Ae ^{j\phi}}\). W żadnym wypadku równość ,tylko pewna odpowiedniość.-- 13 maja 2015, o 20:33 --PS ,nie wiem czy o to Ci chodziło ,ale powinno być \(\displaystyle{ U=U_{0}\sin(\omega t)=U_0\cos\left(\omega t - \frac{\pi}{2}\right) \rightarrow u=U_0e ^{\red{-}\frac{\pi}{2} j}}\) co nie wiele zmienia

[joe74joe74]

No to metodą wskazową jedziemy :
\(\displaystyle{ U=U_{0}\sin(\omega t)=U_0\cos\left(\omega t - \frac{\pi}{2}\right) \rightarrow u=U_0e ^{ \frac{\pi}{2} j}}\)

Zły wzór, podstawą jest funkcja czasowa w postaci sinus, w tym przypadku faza początkowa jest równa zero.

[Igor V]

joe74joe74, nie jest zły.To kwestia umowy czy bierzemy sinusa czy cosinusa.A z tego co wiem powszechną umową jest branie cosinusa a nie sinusa.

[kalwi]

No to metodą wskazową jedziemy :
\(\displaystyle{ U=U_{0}\sin(\omega t)=U_0\cos\left(\omega t - \frac{\pi}{2}\right) \rightarrow u=U_0e ^{ \frac{\pi}{2} j}}\)

Zły wzór, podstawą jest funkcja czasowa w postaci sinus, w tym przypadku faza początkowa jest równa zero.

No popatrz, a mnie od 2 lat uczą, że się wychodzi raczej z cosinusa. Tylko zapis należałoby poprawić zdeczka

\(\displaystyle{ u(t)=U_{0}\sin(\omega t)=U_0\cos\left(\omega t - \frac{\pi}{2}\right) \rightarrow \underline{U}=U_0e ^{ -j\frac{\pi}{2}}}\)

[Igor V]

Tylko zapis należałoby poprawić zdeczka

\(\displaystyle{ u(t)=U_{0}\sin(\omega t)=U_0\cos\left(\omega t - \frac{\pi}{2}\right) \rightarrow \underline{U}=U_0e ^{ -j\frac{\pi}{2}}}\)

PS ,nie wiem czy o to Ci chodziło ,ale powinno być \(\displaystyle{ U=U_{0}\sin(\omega t)=U_0\cos\left(\omega t - \frac{\pi}{2}\right) \rightarrow u=U_0e ^{\red{-}\frac{\pi}{2} j}}\) co nie wiele zmienia

[kalwi]

PS, nie wiem czy o to Ci chodziło ,ale powinno być \(\displaystyle{ \red{U} =U_{0}\sin(\omega t)=U_0\cos\left(\omega t - \frac{\pi}{2}\right) \rightarrow \red{u} =U_0e ^{ -\frac{\pi}{2} j}}\) co nie wiele zmienia