Znajdź miejsca zerowe pochodnej - wartość bezwzględna.

[Astose]

Mam za zadanie:
Znajdź maksymalne przedziały monotoniczności, ekstrema lokalne oraz kresy dla funkcji zadanej wzorem:
\(\displaystyle{ f\left(x\right)=|x^2+2x-3x|+\frac{3}{2}\ln|x| \text{ dla } x\in\mathBB{R}\backslash\{0\}}\)
Teraz pytanie: czy jedynym sensownym rozwiązaniem tego zadania, byłoby rozbić funkcję na przedziały
\(\displaystyle{ f\left(x\right)=\begin{cases}
x^2+2x-3+\frac{3}{2}\ln\left(-x\right) &\text{ dla } x\in\left(-\infty;-3\right)\\
-x^2-2x+3+\frac{3}{2}\ln\left(-x\right) &\text{ dla }x\in\left<-3;0\right)\\
-x^2-2x+3+\frac{3}{2}\ln x &\text{ dla }x\in\left(0;1\right) \\
x^2+2x-3x+\frac{3}{2}\ln x &\text{ dla }x\in\left<1;\infty\right)\end{cases}}\)
Następnie obliczenie poszczególnych pochodnych... :
\(\displaystyle{ f'\left(x\right)=\begin{cases}
2x+2-\frac{3}{2}\ln \left(-x\right) &\text{ dla }x\in\left(-\infty;-3\right) \\
-2x-2-\frac{3}{2}\ln \left(-x\right) &\text{ dla }x\in\left<-3;0\right) \\
-2x-2+\frac{3}{2}\ln x &\text{ dla }x\in\left(0;1\right) \\
2x+2+\frac{3}{2}\ln x &\text{ dla }x\in\left<1;\infty\right) \end{cases}}\)

i dodatkowo obliczenie miejsc zerowych dla każdego przypadku... i dalsze zabawy, czy jest lepsza metoda?
Dodatkowo jeżeli miałbym teraz liczyć miejsca zerowe, to mam taki problem, że NIE UMIEM i nie wiem nawet czy jest to proste (wg google nie jest) obliczyć miejsce zerowe równania:
\(\displaystyle{ 2x+2+\frac{3}{2}\ln x=0}\)
Google doprowadziło mnie do jakiejś funkcji W Lamberta: , ale to wykracza poza mój materiał, a intuicyjnie wiem ze jest to rozwiązanie w przedziale \(\displaystyle{ \left(0;1\right)}\) i bardzo możliwe że w innych przypadkach miejsca zerowe wychodzą poza dziedziną.

Tak więc moim pytaniem jest: czy jest możliwość zrobienia tego zadania w prostszy sposób?

EDIT
Wychodzi mi, że dla pierwszego, trzeciego i czwartego przypadku pochodnej nie ma miejsc zerowych, problematyczny jest natomiast drugi przypadek.

[Medea 2]

Pochodna nie ma miejsc zerowych? Ma! Jednak z wykresu łatwo widać jeszcze, że w \(\displaystyle{ -3}\) i \(\displaystyle{ 1}\) są ekstrema lokalne.

Dobrze Ty liczysz te pochodne? Dla \(\displaystyle{ 0 < x < 1}\): \(\displaystyle{ f'(x) = -2 + \frac 3 {2x} - 2x = 0 \implies \dots}\)

[Astose]

a okay, zle liczylem :<
pozniej jeszcze napisze

[Lider_M]

Ponadto wszystkie przedziały dla pochodnych powinny być otwarte, w punktach krańcowych przedziałów należy policzyć pochodną z definicji (tutaj akurat nie potrzeba, bo można przeanalizować znak pochodnej w pobliżu tych punktów i na tej podstawie stwierdzić, czy w danych puntkach są czy nie ma ekstremów).